Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 43 стр.

                            2)yx + ln y = 1, M (1; 1);

                           3)x5 + y 5 = 2xy, M (1; 1).


                   9. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ.

9.1. Функция f имеет конечную производную в точке x тогда и только тогда,
когда приращение функции может быть представленно в виде

           4f (x) = f (x + dx) − f (x) = A(x)dx + o(dx) (dx → 0).

Линейная часть этого приращения называется дифференциалом функции f
в точке x и обозначается df (x). Дифференциал равен

                                df (x) = f 0 (x)dx.

Пренебрегая бесконечно малой o(dx), для приближенных подсчетов можно
пользоваться формулой

                     f (x + dx) − f (x) ≈ f 0 (x)dx (dx → 0).


                                 9.2. Примеры.

9.2.1. Для функции f (x) = x3 − 2x + 1 определить 4f (1), df (1) и сравнить
их, если dx = 1; dx = 0, 1; dx = 0, 01.
5 Выведем формулы для приращения и дифференциала функции. Прира-
щение функции

4f (1) = f (1 + dx) − f (1) = (1 + dx)3 − 2(1 + dx) + 1 − 0 = (dx)3 + 3(dx)2 + dx.

Для того, чтобы найти дифференциал функции, вычислим производную

                           f 0 (x) = 3x2 − 2, f 0 (1) = 1.

Дифференциал равен df (1) = f 0 (1)dx = dx. Представим результаты вычис-
лений в виде таблицы

                                          43