Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1)y =
1
x
,
2)y = arcsin
x
a
,
3)y = ln |x +
p
x
2
+ a
2
|,
4)y = sin x − x cos x,
5)y = xe
x
,
6)y =
ln x
√
x
,
7)y =
x
√
1 − x
2
.
9.3.2. Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно
1)sin 29
◦
, 2)arctg 1, 05, 3)ln 11.
9.3.3. Доказать приближенную формулу
n
√
a
n
+ x ≈ a +
x
na
n−1
, a > 0, x → 0.
С помощью этой формулы приближенно вычислить 1)
3
√
9, 2)
4
√
80, 3)
7
√
100,
4)
10
√
1000.
10. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ
10.1. Пусть a ∈ R и f, g определены и дифференцируемы в некоторой про-
колотой окрестности U точки a, причем g(x), g
0
(x) 6= 0 и выполнено одно из
условий
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 ,
lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = ∞.
Тогда lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f
0
(x)
g
0
(x)
, если существует (возможно, несобственный) пре-
дел в правой части. Правило верно также для случаев a = ∞, ±∞, x → a ±.
10.2. Раскрытие неопределенностей других видов. Раскрытие неопределен-
ностей вида 0·∞ и ∞−∞ путем алгебраических преобразований приводится
к раскрытию неопределенностей двух основных типов
0
0
или
∞
∞
.
Для раскрытия неопределенностей вида 0
0
, ∞
0
, 1
∞
при вычислении пределов
функций ϕ(x) = (f(x))
g(x)
, следует представить функцию ϕ(x) в виде
ϕ(x) = e
g(x) ln f(x)
45
                                                                4)y = sin x − x cos x,
                        1
                1)y =     ,                                           5)y = xex ,
                        x
                        x                                                   ln x
            2)y = arcsin ,                                            6)y = √ ,
                        a                                                      x
                     p                                                        x
                                                                    7)y = √        .
        3)y = ln |x + x2 + a2 |,                                            1 − x2

9.3.2. Заменяя приращение функции дифференциалом, найти приближенно
1)sin 29◦ , 2)arctg 1, 05, 3)ln 11.
9.3.3. Доказать приближенную формулу
                        √      x
                        n
                            an + x ≈ a +
                                   , a > 0, x → 0.
                             nan−1
                                                 √     √        √
С помощью этой формулы приближенно вычислить 1) 3 9, 2) 4 80, 3) 7 100,
   √
4) 10 1000.

                         10. ПРАВИЛО ЛОПИТАЛЯ

10.1. Пусть a ∈ R и f, g определены и дифференцируемы в некоторой про-
                                                                0
колотой окрестности U точки a, причем g(x), g (x) 6= 0 и выполнено одно из
условий


                                  lim f (x) = lim g(x) = 0             ,
                                  x→a            x→a

                                  lim f (x) = lim g(x) = ∞.
                                  x→a           x→a
                              0
           f (x)       f (x)
Тогда lim        = lim 0     , если существует (возможно, несобственный) пре-
       x→a g(x)    x→a g (x)
дел в правой части. Правило верно также для случаев a = ∞, ±∞, x → a ± .

10.2. Раскрытие неопределенностей других видов. Раскрытие неопределен-
ностей вида 0·∞ и ∞−∞ путем алгебраических преобразований приводится
                                                      0     ∞
к раскрытию неопределенностей двух основных типов или         .
                                                      0     ∞
Для раскрытия неопределенностей вида 00 , ∞0 , 1∞ при вычислении пределов
функций ϕ(x) = (f (x))g(x) , следует представить функцию ϕ(x) в виде

                                        ϕ(x) = eg(x) ln f (x)

                                                 45

Страницы