Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

α — угол между левой касательной и положительным направлением оси, а
β — угол между правой касательной и положительным направлением оси.
Тогда tg(α) = − | a |,tg(β) =| a |. Угол между касательными есть угол
γ = β − α и
tg(γ) =
−2 | a |
1 − a
2
.¤
8.4.3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, задаваемой
параметрическими уравнениями x(t) = 2t − t
2
, y(t) = 3t − t
3
в точках
t = 0,t = 1.
5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные
x
0
(t) = 2 − 2t, y
0
(t) = 3 − 3t
2
.
Производная x
0
(t) = 2 − 2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными па-
раметрическими уравнениями определены две однозначные дифференциру-
емые функции: f
1
(x) при t < 1 и f
2
(x) при t > 1. При t 6= 1 производные
обеих функций имеют вид
f
0
(x) =
3 − 3t
2
2 − 2t
.
В точке t = 0 переменная x(0) = 0, значение функции f
1
(x) = f
1
(0) =
y(0) = 0 и производная f
0
(0) =
3
2
. Следовательно, уравнение касательной в
точке t = 0 имеет вид y =
3
2
x, а уравнение нормали y =
−2
3
x. В точке t = 1
переменная x(1) = 1, значение функции f(x) = f(1) = y(1) = 2. Так как
x
0
(t) = 2 − 2t = 0 при t = 1 производная f
0
(x) не может быть найдена по
формуле из 2.2. Найдем производную по определению:
f
0
(1) = lim
h→0
f(1 + h) − f(1)
h
= lim
t→0
y(1 + t) − y(1)
x(1 + t) − x(1)
=
= lim
t→0
3(1 + t) − (1 + t)
3
− 2
2(1 + t) − (1 + t)
2
− 1
=
= lim
t→0
−3t
2
− t
3
−t
2
= 3.
Следовательно, уравнение касательной в точке t = 1 имеет вид
y − 2 = 3(x − 1),т.е. y = 3x − 1,
41
α — угол между левой касательной и положительным направлением оси, а
β — угол между правой касательной и положительным направлением оси.
Тогда tg(α) = − | a |,tg(β) =| a |. Угол между касательными есть угол
γ =β−α и
                                               −2 | a |
                                     tg(γ) =            .¤
                                               1 − a2
8.4.3. Написать уравнения касательной и нормали к кривой, задаваемой
параметрическими уравнениями x(t) = 2t − t2 , y(t) = 3t − t3 в точках
t = 0,t = 1.
5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные

                               x0 (t) = 2 − 2t, y 0 (t) = 3 − 3t2 .

Производная x0 (t) = 2 − 2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными па-
раметрическими уравнениями определены две однозначные дифференциру-
емые функции: f1 (x) при t < 1 и f2 (x) при t > 1. При t 6= 1 производные
обеих функций имеют вид
                                        0      3 − 3t2
                                       f (x) =         .
                                               2 − 2t
В точке t = 0 переменная x(0) = 0, значение функции f1 (x) = f1 (0) =
y(0) = 0 и производная f 0 (0) = 23 . Следовательно, уравнение касательной в
точке t = 0 имеет вид y = 32 x, а уравнение нормали y =               −2
                                                                      3 x.   В точке t = 1
переменная x(1) = 1, значение функции f (x) = f (1) = y(1) = 2. Так как
x0 (t) = 2 − 2t = 0 при t = 1 производная f 0 (x) не может быть найдена по
формуле из 2.2. Найдем производную по определению:
                            f (1 + h) − f (1)       y(1 + t) − y(1)
               f 0 (1) = lim                  = lim                 =
                        h→0         h           t→0 x(1 + t) − x(1)

                           3(1 + t) − (1 + t)3 − 2
                     = lim                         =
                       t→0 2(1 + t) − (1 + t)2 − 1

                                 −3t2 − t3
                          = lim            = 3.
                             t→0    −t2
Следовательно, уравнение касательной в точке t = 1 имеет вид

                          y − 2 = 3(x − 1),т.е. y = 3x − 1,

                                               41

Страницы