Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

8.4. Примеры.
8.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
y = (x + 1)
3
√
3 − x
в точках A(−1, 0), B(2, 3) и C(3, 0).
5 Найдем производную от данной функции:
y
0
(x) =
3
√
3 − x −
x + 1
3
3
p
(3 − x)
2
.
Так как y
0
(−1) =
√
4, y(−1) = 0, то уравнение касательной к графику
данной функции в точке A имеет вид: y =
√
4(x + 1).
Так как y
0
(2) = 0, y(2) = 3, то касательная к графику функции в точке B
параллельна оси Ox. Уравнение касательной в точке B имеет вид : y = 3.
В точке C(3, 0) функция имеет бесконечную производную, так как
lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= lim
h→0
(4 + h)
3
√
h − 0
h
= ∞.
Значит касательная к графику функции в точке C(3, 0) перпендикулярна
оси Ox и ее уравнение x = 0.¤
8.4.2. Определить угол между левой и правой касательными к кривой
y =
p
1 − e
−a
2
x
2
в точке x = 0.
5 Найдем f
0
−
(0), f
0
+
(0).
f
0
−
(0) = lim
h→0−
√
1
−
e
−a
2
h
2
−
0
h
= lim
h→0−
|
ah
|
h
= − | a |,
f
0
+
(0) = lim
h→0−
√
1 − e
−a
2
h
2
− 0
h
= lim
h→0+
| ah |
h
=| a | .
Так как левая и правая производные в точке x = 0 не совпадают, то заданная
функция в этой точке не дифференцируема. В точке x = 0 можно построить
касательную к левой части графика (левую касательную) и к правой части
графика (правую касательную). Угловой коэффициент левой касательной ра-
вен k
1
= − | a |, а угловой коэффициент правой касательной k
2
=| a |. Пусть
40
                                   8.4. Примеры.

8.4.1. Написать уравнения касательной и нормали к кривой
                                             √
                                  y = (x + 1) 3 3 − x

в точках A(−1, 0), B(2, 3) и C(3, 0).
5 Найдем производную от данной функции:
                                       √           x+1
                           y 0 (x) =   3
                                           3−x− p           .
                                               3 3 (3 − x)2
                       √
Так как y 0 (−1) =  4, y(−1) = 0, то уравнение касательной к графику
                                       √
данной функции в точке A имеет вид: y = 4(x + 1).
Так как y 0 (2) = 0, y(2) = 3, то касательная к графику функции в точке B
параллельна оси Ox. Уравнение касательной в точке B имеет вид : y = 3.
В точке C(3, 0) функция имеет бесконечную производную, так как
                                                  √
                   f (x + h) − f (x)       (4 + h) 3 h − 0
               lim                   = lim                 = ∞.
               h→0         h           h→0       h
Значит касательная к графику функции в точке C(3, 0) перпендикулярна
оси Ox и ее уравнение x = 0.¤

8.4.2. Определить угол между левой и правой касательными к кривой
                         p
                      y = 1 − e−a2 x2 в точке x = 0.

5 Найдем f−0 (0), f+0 (0).
                             √
                           1 − e−a2 h2 − 0         | ah |
             f−0 (0)
                  = lim                     = lim         = − | a |,
                     h→0−        h            h→0−    h
                           √
               0             1 − e−a2 h2 − 0         | ah |
             f+ (0) = lim                    = lim          =| a | .
                      h→0−        h            h→0+     h
Так как левая и правая производные в точке x = 0 не совпадают, то заданная
функция в этой точке не дифференцируема. В точке x = 0 можно построить
касательную к левой части графика (левую касательную) и к правой части
графика (правую касательную). Угловой коэффициент левой касательной ра-
вен k1 = − | a |, а угловой коэффициент правой касательной k2 =| a |. Пусть

                                              40

Страницы