Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Найдем производные
x
0
(ϕ) = −a sin ϕ cos ϕ − a(1 + cos ϕ) sin ϕ =
= −2a sin ϕ cos ϕ − a sin ϕ = −a(sin 2ϕ + sin ϕ) = −2a sin
µ
3ϕ
2
cos
ϕ
2
,
y
0
(ϕ) = −a sin
2
ϕ+a(1+cos ϕ) cos ϕ) = a(cos 2ϕ+cos ϕ) = 2a cos
µ
3ϕ
2
cos
ϕ
2
.
Заметим, что x
0
(ϕ) = 0 при ϕ = 0, ±
2π
3
. Тогда, при ϕ 6= 0, ±
2π
3
, по формуле
пункта 7.2,
f
0
x
(x) =
y
0
(ϕ)
x
0
(ϕ)
=
2a cos
¡
3ϕ
2
¢
cos
ϕ
2
−2a sin
¡
3ϕ
2
¢
cos
ϕ
2
= ctg
µ
3ϕ
2
.¤
7.5. УПРАЖНЕНИЯ
7.5.1 Показать, что существует однозначная дифференцируемая обратная
функция y(x), удовлетворяющая уравнению y
3
+ 3y = x и найти ее произ-
водную.
7.5.2. Выделить однозначные непрерывные ветви обратной функции
x = x(y) и найти их производные, если
1) =
x
2
1 + −x
2
,
2) = 2e
−x
− e
−2x
.
7.5.3. Найти производные y
0
x
(x) от функций, заданных параметрически урав-
нениями
1)x = sin
2
t, y = cos
2
t,
2)x = ch t, y = sh t,
3)x = e
2t
cos
2
t, y = e
2t
sin
2
t,
4)x = arcsin
t
1 + t
2
, y = arccos
1
1 + t
2
.
7.5.4. Найти производные y
0
x
(x) от функций, заданных неявно
1)y
2
= 2px,
38
Найдем производные

                  x0 (ϕ) = −a sin ϕ cos ϕ − a(1 + cos ϕ) sin ϕ =
                                                                   µ    ¶
                                                                     3ϕ      ϕ
      = −2a sin ϕ cos ϕ − a sin ϕ = −a(sin 2ϕ + sin ϕ) = −2a sin          cos ,
                                                                      2      2
                                                                       µ ¶
                                                                         3ϕ     ϕ
y 0 (ϕ) = −a sin2 ϕ + a(1 + cos ϕ) cos ϕ) = a(cos 2ϕ + cos ϕ) = 2a cos       cos .
                                                                          2     2
Заметим, что x0 (ϕ) = 0 при ϕ = 0, ± 2π                       2π
                                      3 . Тогда, при ϕ 6= 0, ± 3 , по формуле
пункта 7.2,
                                       ¡ 3ϕ ¢   ϕ       µ ¶
                        0       2a cos
               0      y   (ϕ)             2 cos 2        3ϕ
              fx (x) = 0      =         ¡ 3ϕ ¢    = ctg     .¤
                      x (ϕ) −2a sin 2 cos ϕ2              2


                            7.5. УПРАЖНЕНИЯ

7.5.1 Показать, что существует однозначная дифференцируемая обратная
функция y(x), удовлетворяющая уравнению y 3 + 3y = x и найти ее произ-
водную.

7.5.2. Выделить однозначные непрерывные ветви обратной функции
x = x(y) и найти их производные, если
                                          x2
                                  1) =         ,
                                       1 + −x2
                                2) = 2e−x − e−2x .

7.5.3. Найти производные yx0 (x) от функций, заданных параметрически урав-
нениями
                             1)x = sin2 t, y = cos2 t,

                              2)x = ch t, y = sh t,

                         3)x = e2t cos2 t, y = e2t sin2 t,
                                    t                      1
                     4)x = arcsin        , y = arccos         .
                                  1 + t2               1 + t2
7.5.4. Найти производные yx0 (x) от функций, заданных неявно

                                   1)y 2 = 2px,

                                        38

Страницы