Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

В точке t = 1 (т.е. при x = 0) производная f
0
(x) не может быть найдена по
формуле из 7.2. Попробуем найти производную по определению:
f
0
x
(0) = lim
h→0
f(0 + h) − f(0)
h
= lim
t→0
y(1 + t) − y(1)
x(1 + t) − x(1)
=
= lim
t→0
2 − 3(1 + t) + (1 + t)
3
− 0
−1 + 2(1 + t) − (1 + t)
2
− 0
=
= lim
t→0
3t
2
+ t
3
−t
2
= −3.¤
7.4.3. Найти производную y
0
x
(x) от функции y = f(x), заданной неявно
следующим уравнением
x
2
+ 2xy − y
2
= 2x.
Чему равно y
0
x
(x) при x = 2, y = 4 и при x = 2, y = 0.
5 Запишем данное уравнение в виде x
2
+ 2xy(x) −y
2
(x) = 2x и продиффе-
ренцируем его как сложную функцию. Получаем
2x + 2y(x) + 2xy
0
(x) − 2y(x)y
0
(x) = 2.
Откуда выражаем
y
0
x
(x) =
2 − 2x − 2y(x)
2x − 2y(x)
=
1 − x − y(x)
x − y(x)
.
Следовательно,
при x = 2, y = 4 производная y
0
x
(2) =
1 − 2 − 4
2 − 4
=
5
2
,
при x = 2, y = 0 производная y
0
x
(2) =
1 − 2 − 0
2 − 0
=
−1
2
.¤
7.4.3. Найти производную y
0
x
(x) от функции y = f(x), заданной в полярной
системе координат r = a(1 + cos ϕ), где r =
p
x
2
+ y
2
, ϕ = arctg
y
x
.
5 Можно считать, что функция y = f(x) задана параметрически с пара-
метром ϕ следующими уравнениями
x = r cos ϕ = a(1 + cos ϕ) cos ϕ,
y = r sin ϕ = a(1 + cos ϕ) sin ϕ.
37
В точке t = 1 (т.е. при x = 0) производная f 0 (x) не может быть найдена по
формуле из 7.2. Попробуем найти производную по определению:
                         f (0 + h) − f (0)       y(1 + t) − y(1)
            fx0 (0) = lim                  = lim                 =
                     h→0         h           t→0 x(1 + t) − x(1)

                          2 − 3(1 + t) + (1 + t)3 − 0
                    = lim                              =
                      t→0 −1 + 2(1 + t) − (1 + t)2 − 0

                                     3t2 + t3
                               = lim          = −3.¤
                                 t→0   −t2
7.4.3. Найти производную yx0 (x) от функции y = f (x), заданной неявно
следующим уравнением
                                x2 + 2xy − y 2 = 2x.

Чему равно yx0 (x) при x = 2, y = 4 и при x = 2, y = 0.
5 Запишем данное уравнение в виде x2 + 2xy(x) − y 2 (x) = 2x и продиффе-
ренцируем его как сложную функцию. Получаем

                   2x + 2y(x) + 2xy 0 (x) − 2y(x)y 0 (x) = 2.

Откуда выражаем
                               2 − 2x − 2y(x) 1 − x − y(x)
                   yx0 (x) =                 =             .
                                 2x − 2y(x)     x − y(x)
Следовательно,
                                                        1−2−4 5
            при x = 2, y = 4 производная yx0 (2) =           = ,
                                                         2−4  2
                                                       1 − 2 − 0 −1
          при x = 2, y = 0 производная yx0 (2) =                =   .¤
                                                         2−0      2
7.4.3. Найти производную yx0 (x) от функции y = f (x), заданной в полярной
                                           p
системе координат r = a(1 + cos ϕ), где r = x2 + y 2 , ϕ = arctg xy .
5 Можно считать, что функция y = f (x) задана параметрически с пара-
метром ϕ следующими уравнениями

                       x = r cos ϕ = a(1 + cos ϕ) cos ϕ,

                        y = r sin ϕ = a(1 + cos ϕ) sin ϕ.

                                         37

Страницы