Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7.2. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции x =
ϕ(t) и y = ψ(t) дифференцируемы интервале (α, β), причем производная
x
0
(t) непрерывна и x
0
(t) 6= 0 ∀t ∈ (α, β). Тогда на интервале (ϕ(α), ϕ(β))
определена однозначная дифференцируемая функция от переменной x вида
f(x) = ψ(ϕ
−1
(x)) и ∀x
0
= ϕ(t
0
)
f
0
x
(x
0
) =
ψ
0
(t
0
)
ϕ
0
(t
0
)
.
7.3. Производная функции, заданной неявно. Если функция f(x) задана
неявно уравнением F (x, y) = 0, то, дифференцируя тождество
F (x, f(x)) = 0
как сложную функцию, можно найти f
0
x
(x).
7.4. Примеры.
7.4.1. Выделить однозначные непрерывные ветви обратной функции x =
x(y) и найти их производные, если f(x) = 2x
2
− x
4
. Найти x
0
(0).
5 Функция f(x) = 2x
2
− x
4
является дифференцируемой и ее производная
f
0
(x) = 4x −4x
3
непрерывна. В точках x = 0, x = 1, и x = −1 производная
f
0
(x) = 4x −4x
3
= 0. Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала
(∞, −1), (−1, 0), (0, 1), (1, ∞). Обозначим
f
1
(x) = f(x)(x ∈ (∞, −1)), f
2
(x) = f(x)(x ∈ (−1, 0)),
f
3
(x) = f(x)(x ∈ (0, 1)), f
4
(x) = f(x)(x ∈ (1, ∞)).
Производные f
0
i
(x) 6= 0(i = 1, 2, 3, 4), значит определены однозначные диф-
ференцируемые обратные функции x
i
(y) = f
−1
i
(y)(i = 1, 2, 3, 4). Эти об-
ратные функции являются однозначными непрерывными ветвями обратной
функции x = x(y) и для y = 2x
2
− x
4
(f
−1
i
)
0
(y) =
1
4x − 4x
3
(i = 1, 2, 3, 4).
35
7.2. Производная функции, заданной параметрически. Пусть функции x =
ϕ(t) и y = ψ(t) дифференцируемы интервале (α, β), причем производная
x0 (t) непрерывна и x0 (t) 6= 0 ∀t ∈ (α, β). Тогда на интервале (ϕ(α), ϕ(β))
определена однозначная дифференцируемая функция от переменной x вида
f (x) = ψ(ϕ−1 (x)) и ∀x0 = ϕ(t0 )

                                              ψ 0 (t0 )
                                 fx0 (x0 )   = 0        .
                                              ϕ (t0 )
7.3. Производная функции, заданной неявно. Если функция f (x) задана
неявно уравнением F (x, y) = 0, то, дифференцируя тождество

                                  F (x, f (x)) = 0

как сложную функцию, можно найти fx0 (x).

                                 7.4. Примеры.

7.4.1. Выделить однозначные непрерывные ветви обратной функции x =
x(y) и найти их производные, если f (x) = 2x2 − x4 . Найти x0 (0).
5 Функция f (x) = 2x2 − x4 является дифференцируемой и ее производная
f 0 (x) = 4x − 4x3 непрерывна. В точках x = 0, x = 1, и x = −1 производная
f 0 (x) = 4x − 4x3 = 0. Эти точки разбивают числовую прямую на 4 интервала
(∞, −1), (−1, 0), (0, 1), (1, ∞). Обозначим

           f1 (x) = f (x)(x ∈ (∞, −1)),           f2 (x) = f (x)(x ∈ (−1, 0)),

             f3 (x) = f (x)(x ∈ (0, 1)),       f4 (x) = f (x)(x ∈ (1, ∞)).

Производные fi0 (x) 6= 0(i = 1, 2, 3, 4), значит определены однозначные диф-
ференцируемые обратные функции xi (y) = fi−1 (y)(i = 1, 2, 3, 4). Эти об-
ратные функции являются однозначными непрерывными ветвями обратной
функции x = x(y) и для y = 2x2 − x4
                                          1
                      (fi−1 )0 (y) =            (i = 1, 2, 3, 4).
                                       4x − 4x3


                                             35

Страницы