Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Для того, чтобы найти x
0
(0), сначала выясним, при каких значениях x пере-
менная y = 0. Для этого решим уравнение 2x
2
−x
4
= 0. Корнями уравнения
являются значения x = 0, x =
√
2, x = −
√
2. Точка x = 0 является гра-
ницей одного из интервалов, указанных выше, поэтому обратная функция
не определена однозначно, следовательно производная не определена. Точка
x =
√
2 ∈ (1, ∞), следовательно, x =
√
2 = x
4
(0), производная считается по
формуле, выведенной выше и
x
0
(0) = (f
−1
4
)
0
(0) =
1
4
√
2 − 4
√
2
3
=
1
4
√
2(1 − 2)
=
−1
4
√
2
.
Аналогично при x = −
√
2 = x
1
(0) производная
x
0
(0) = (f
−1
1
)
0
(0) =
1
−4
√
2 + 4
√
2
3
=
1
4
√
2
.¤
7.4.2. Найти производную f
0
x
(x) от функции y = f(x), заданной параметри-
чески уравнениями x = −1 + 2t − t
2
, y = 2 − 3t + t
3
. Чему равна f
0
x
(x) при
x = 0 и x = −1.
5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные
x
0
(t) = 2 − 2t, y
0
(t) = −3 + 3t
2
.
Производная x
0
(t) = 2 − 2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными па-
раметрическими уравнениями определены две однозначные дифференциру-
емые функции: f
1
(x) при t < 1 и f
2
(x) при t > 1. При t 6= 1 производные
обеих функций имеют вид
f
0
x
(x) =
−3 + 3t
2
2 − 2t
=
3(1 + t)
2
.
Так как x = −1 при t = 0 и t = 2, то
(f
1
)
0
(−1) =
−3 + 3 · 0
2 − 2 · 0
=
−3
2
(f
2
)
0
(−1) =
−3 + 3 · (2)
2
2 − 2 · 2
=
−9
2
.
36
Для того, чтобы найти x0 (0), сначала выясним, при каких значениях x пере-
менная y = 0. Для этого решим уравнение 2x2 − x4 = 0. Корнями уравнения
                              √          √
являются значения x = 0, x = 2, x = − 2. Точка x = 0 является гра-
ницей одного из интервалов, указанных выше, поэтому обратная функция
не определена однозначно, следовательно производная не определена. Точка
    √                               √
x = 2 ∈ (1, ∞), следовательно, x = 2 = x4 (0), производная считается по
формуле, выведенной выше и
                                    1         1       −1
          x0 (0) = (f4−1 )0 (0) = √   √ 3= √        = √ .
                                 4 2−4 2  4 2(1 − 2) 4 2
                        √
Аналогично при x = − 2 = x1 (0) производная
                                                 1        1
                  x0 (0) = (f1−1 )0 (0) =     √     √ 3 = √ .¤
                                            −4 2 + 4 2   4 2

7.4.2. Найти производную fx0 (x) от функции y = f (x), заданной параметри-
чески уравнениями x = −1 + 2t − t2 , y = 2 − 3t + t3 . Чему равна fx0 (x) при
x = 0 и x = −1.
5 Продифференцируем x(t) и y(t). Получаем производные

                         x0 (t) = 2 − 2t, y 0 (t) = −3 + 3t2 .

Производная x0 (t) = 2 − 2t = 0 при t = 1. Следовательно, данными па-
раметрическими уравнениями определены две однозначные дифференциру-
емые функции: f1 (x) при t < 1 и f2 (x) при t > 1. При t 6= 1 производные
обеих функций имеют вид
                                       −3 + 3t2   3(1 + t)
                           fx0 (x) =            =          .
                                        2 − 2t       2
Так как x = −1 при t = 0 и t = 2, то
                                            −3 + 3 · 0 −3
                           (f1 )0 (−1) =              =
                                            2−2·0       2
                                         −3 + 3 · (2)2   −9
                         (f2 )0 (−1) =                 =    .
                                          2−2·2          2


                                            36

Страницы