Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2)
x
2
a
2
+
y
2
b
2
= 1,
3)x
2
3
+ y
2
3
= a
2
3
.
7.5.5. Найти производные y
0
x
(x) от функций, заданных в полярной системе
координат 1)r = aϕ,, 2)r = ae
mϕ
, где r =
p
x
2
+ y
2
, ϕ = arctg
y
x
.
8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ
8.1. Если функция f дифференцируема в точке x, то производная f
0
(x)
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной
в точке (x, f(x)).
8.2. Уравнения касательной и нормали. Уравнение касательной к графику
дифференцируемой функции y = f(x), проведенной в точке (x
0
, f(x
0
)) имеет
вид:
y − f(x
0
) = f
0
(x
0
)(x − x
0
).
Уравнение нормали к графику дифференцируемой функции y = f(x), про-
веденной в точке (x
0
, f(x
0
)) имеет вид:
y − f(x
0
) =
−1
f
0
(x
0
)
(x − x
0
).
Говорят, что кривые y = f
1
(x) и y = f
2
(x) пересекаются под углом α, если
под углом α пересекаются касательные к этим кривым, проведенные в точке
пересечения x
0
. Угол α =| arctg f
0
1
(x
0
) − arctg f
0
2
(x
0
) | .
8.3. Бесконечная производная. Если функция f непрерывна в точке x и
lim
h→0
f(x + h) − f(x)
h
= ∞,
то говорят, что в точке x функция имеет бесконечную производную. В этом
случае касательная к графику функции f в точке (x, f(x)) перпендикулярна
оси Ox.
39
                                         x2 y 2
                                    2)      +   = 1,
                                         a 2 b2
                                         2     2      2
                                   3)x 3 + y 3 = a 3 .

7.5.5. Найти производные yx0 (x) от функций, заданных в полярной системе
                                         p
координат 1)r = aϕ,, 2)r = aemϕ , где r = x2 + y 2 , ϕ = arctg xy .


        8. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ ПРОИЗВОДНОЙ

8.1. Если функция f дифференцируема в точке x, то производная f 0 (x)
равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной
в точке (x, f (x)).

8.2. Уравнения касательной и нормали. Уравнение касательной к графику
дифференцируемой функции y = f (x), проведенной в точке (x0 , f (x0 )) имеет
вид:
                             y − f (x0 ) = f 0 (x0 )(x − x0 ).

Уравнение нормали к графику дифференцируемой функции y = f (x), про-
веденной в точке (x0 , f (x0 )) имеет вид:
                                               −1
                            y − f (x0 ) =              (x − x0 ).
                                             f 0 (x0 )
Говорят, что кривые y = f1 (x) и y = f2 (x) пересекаются под углом α, если
под углом α пересекаются касательные к этим кривым, проведенные в точке
пересечения x0 . Угол α =| arctg f10 (x0 ) − arctg f20 (x0 ) | .

8.3. Бесконечная производная. Если функция f непрерывна в точке x и
                                 f (x + h) − f (x)
                             lim                   = ∞,
                             h→0         h
то говорят, что в точке x функция имеет бесконечную производную. В этом
случае касательная к графику функции f в точке (x, f (x)) перпендикулярна
оси Ox.




                                             39

Страницы