Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

d
n
f(x) = f
(n)
(x)(dx)
n
.
Если x — промежуточный аргумент, то есть x = ϕ(t), тогда
d
2
x(t) = d(dx(t)) = d(x
0
(t)dt) = x
00
(t)(dt)
2
, df(x) = f
0
(x)dx = f
0
(x)x
0
(t)dt
d
2
f(x) = d(f
0
(x)dx) = f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x)d
2
x(t) = f
00
(x)(dx)
2
+ f
0
(x)x
00
(t)(dt)
2
.
Для вычисления производных высших порядков используются правила вы-
числения производных, формула Лейбница и формулы производных высших
порядков от элементарных функций.
11.3. Формулы производных высших порядков от элементарных функций.
(x
m
)
(n)
= m(m − 1) . . . (m − n + 1)x
m−n
,
(sin x)
(n)
= sin(x +
nπ
2
),
(cos x)
(n)
= cos(x +
nπ
2
),
(a
x
)
(n)
= a
x
(ln a))
n
,
(ln x)
(n)
=
(−1)
n
(n − 1)!
x
n
.
11.4. Формула Лейбница. Если функции u(x) и v(x) n раз дифференциру-
емы, то
(uv)
(n)
=
n
X
k=0
C
k
n
u
(k)
v
(n−k)
,
где u
(0)
= u, v
(0)
= v, и C
k
n
=
n!
k!(n−k)!
— биномиальные коэффициенты.
50
                                  dn f (x) = f (n) (x)(dx)n .

Если x — промежуточный аргумент, то есть x = ϕ(t), тогда

 d2 x(t) = d(dx(t)) = d(x0 (t)dt) = x00 (t)(dt)2 ,               df (x) = f 0 (x)dx = f 0 (x)x0 (t)dt

d2 f (x) = d(f 0 (x)dx) = f 00 (x)(dx)2 + f 0 (x)d2 x(t) = f 00 (x)(dx)2 + f 0 (x)x00 (t)(dt)2 .

Для вычисления производных высших порядков используются правила вы-
числения производных, формула Лейбница и формулы производных высших
порядков от элементарных функций.

11.3. Формулы производных высших порядков от элементарных функций.

                       (xm )(n) = m(m − 1) . . . (m − n + 1)xm−n ,
                                                           nπ
                                 (sin x)(n) = sin(x +         ),
                                                            2
                                                           nπ
                                (cos x)(n)       = cos(x +    ),
                                                            2
                                    (ax )(n) = ax (ln a))n ,
                                        (n)     (−1)n (n − 1)!
                                (ln x)        =                .
                                                     xn
11.4. Формула Лейбница. Если функции u(x) и v(x) n раз дифференциру-
емы, то
                                                 n
                                                 X
                                       (n)
                                (uv)         =         Cnk u(k) v (n−k) ,
                                                 k=0
                                        n!
где u(0) = u, v (0) = v, и Cnk =     k!(n−k)!     — биномиальные коэффициенты.




                                                   50

Страницы