Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5 По формуле Лебница
y
(20)
=
20
X
k=0
C
k
20
(x
2
)
(k)
(e
2x
)
(20−k)
.
Вычислим (e
2x
)
(k)
. Первая производная (e
2x
)
0
= 2e
2x
, вторая (e
2x
)
00
= 4e
2x
,
очевидно по индукции (e
2x
)
(k)
= 2
k
e
2x
. Теперь посчитаем (x
2
)
(k)
. Получаем
(x
2
)
(0)
= x
2
, (x
2
)
0
= 2x, (x
2
)
00
= 2 и (x
2
)
(k)
= 0 для всех k = 3, . . . n.
Значит суммироваться будут только слагаемые с номерами k = 0, 1, 2. Нам
нужны
(e
2x
)
(20)
= 2
20
e
2x
, (e
2x
)
(19)
= 2
19
, (e
2x
)
(18)
= 2
18
e
2x
и
C
0
20
= 1
, C
1
20
= 20
, C
2
20
=
20 · 19
2
= 190
.
Подставляя полученные выражения в формулу Лейбница, выводим
y
(20)
= 2
20
e
2x
x
2
+ 2
19
e
2x
· 2x · 20 + 2
18
e
2x
· 2 · 190 = 2
20
e
2x
(x
2
+ 20x + 95).¤
11.5.7. Найти производную f
(n)
(x) от функции
f(x) =
1
x
2
− 3x + 2
.
5 Разложим функцию f(x) на сумму простейших дробей
f(x) =
1
x
2
− 3x + 2
=
1
(x − 2)(x − 1)
=
1
x − 2
−
1
x − 1
.
Найдем производные порядка n от полученных дробей
y =
1
x − a
= (x − a)
−1
.
Последовательно вычисляя, находим
y
0
= −(x−a)
−2
, y
00
= 2(x−a)
−3
, y
000
= −2·3(x−a)
−4
, . . . y
(n)
= (−1)
n
n!(x−a)
−(n+1)
.
Следовательно,
f
(n)
(x) =
µ
1
x − 2
(n)
−
µ
1
x − 1
(n)
= (−1)
n
n!
µ
1
(x − 2)
(n+1)
−
1
(x − 1)
(n+1)
.
54
5 По формуле Лебница
                                          20
                                          X
                               (20)              k
                           y          =         C20 (x2 )(k) (e2x )(20−k) .
                                          k=0

Вычислим (e2x )(k) . Первая производная (e2x )0 = 2e2x , вторая (e2x )00 = 4e2x ,
очевидно по индукции (e2x )(k) = 2k e2x . Теперь посчитаем (x2 )(k) . Получаем

     (x2 )(0) = x2 , (x2 )0 = 2x, (x2 )00 = 2 и (x2 )(k) = 0 для всех k = 3, . . . n.

Значит суммироваться будут только слагаемые с номерами k = 0, 1, 2. Нам
нужны
           (e2x )(20) = 220 e2x , (e2x )(19) = 219 , (e2x )(18) = 218 e2x и
                      0          1            2     20 · 19
                   C20  = 1, C20    = 20, C20   =            = 190.
                                                       2
Подставляя полученные выражения в формулу Лейбница, выводим

 y (20) = 220 e2x x2 + 219 e2x · 2x · 20 + 218 e2x · 2 · 190 = 220 e2x (x2 + 20x + 95).¤

11.5.7. Найти производную f (n) (x) от функции
                                                       1
                                      f (x) =                 .
                                                  x2 − 3x + 2
5 Разложим функцию f (x) на сумму простейших дробей
                            1            1          1     1
             f (x) =              =              =     −      .
                       x2 − 3x + 2 (x − 2)(x − 1) x − 2 x − 1
Найдем производные порядка n от полученных дробей
                                            1
                                  y=           = (x − a)−1 .
                                           x−a
Последовательно вычисляя, находим

y 0 = −(x−a)−2 , y 00 = 2(x−a)−3 , y 000 = −2·3(x−a)−4 , . . . y (n) = (−1)n n!(x−a)−(n+1) .

Следовательно,
            µ     ¶(n) µ     ¶(n)            µ                           ¶
               1          1                         1            1
f (n) (x) =           −           = (−1)n n!               −               .
              x−2        x−1                   (x − 2)(n+1) (x − 1)(n+1)
                                                    54

Страницы