Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

таблицы, точка x = −1 — точка минимума и значение f(−1) = −1, а x = 1
— точка максимума и f(1) = 1.¤
13.4.2. Найти экстремумы функции
y = x
3
√
1 − x.
5 Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную
функции
y =
3
√
1 − x −
x
3
3
p
(1 − x)
2
=
3 − 4x
3
3
p
(1 − x)
2
.
Производная равна нулю при x =
3
4
и неопределена в точке x = 1. Согласно
необходимому условию экстремума, точки экстремума функции находятся
среди этих точек. Выясним, как меняется знак производной:
x <
3
4
3
4
< x < 1 x > 1
y
0
(x) > 0 y
0
(x) < 0 y
0
(x) < 0
В точке x =
3
4
знак производной меняется с "+"на "− поэтому x =
3
4
яв-
ляется точкой локального максимума. В точке x = 1 знак производной не
меняется, поэтому точка x = 1 не является экстремумом.¤
13.4.3. Найти экстремумы функции
y = cos x +
1
2
cos 2x.
5 Вычислим производную функции y
0
= −sin x −sin 2x. Производная опре-
делена на всей числовой прямой. Выясним в каких точках производная рав-
на нулю. Решая тригонометрическое уравнение sin x + sin 2x = 0, находим
бесконечное число критических точек x = πk, k ∈
Z
и x = ±
2π
3
+ 2πn,
n ∈
Z
. Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума, для того
чтобы выбрать среди критических точек точки экстремума . Найдем вторую
производную функции y
00
= −cos x − 2 cos 2x. Приведем значения второй
призводной в найденных точках в таблице
x = 2πk, k ∈
Z
x = π(2k + 1), k ∈
Z
x = ±
2π
3
+ 2πn, n ∈
Z
y
00
(x) = −3 < 0 y
00
(x) = −1 < 0 y
00
(x) =
3
2
> 0
66
таблицы, точка x = −1 — точка минимума и значение f (−1) = −1, а x = 1
— точка максимума и f (1) = 1.¤
13.4.2. Найти экстремумы функции
                                           √
                                      y = x 3 1 − x.

5 Найдем критические точки функции. Для этого вычислим производную
функции
                        √
                        3             x           3 − 4x
                   y=       1−x− p           =  p           .
                                3 3 (1 − x)2   3 3 (1 − x)2
                                            3
Производная равна нулю при x =              4   и неопределена в точке x = 1. Согласно
необходимому условию экстремума, точки экстремума функции находятся
среди этих точек. Выясним, как меняется знак производной:
                                  3     3
                             x<   4     4   1
                        y 0 (x) > 0     y 0 (x) < 0        y 0 (x) < 0
              3                                                                                3
В точке x =   4   знак производной меняется с "+"на "− поэтому x =                             4   яв-
ляется точкой локального максимума. В точке x = 1 знак производной не
меняется, поэтому точка x = 1 не является экстремумом.¤
13.4.3. Найти экстремумы функции
                                                     1
                                y = cos x +            cos 2x.
                                                     2
5 Вычислим производную функции y 0 = − sin x − sin 2x. Производная опре-
делена на всей числовой прямой. Выясним в каких точках производная рав-
на нулю. Решая тригонометрическое уравнение sin x + sin 2x = 0, находим
бесконечное число критических точек x = πk, k ∈ Z и x = ± 2π
                                                           3 + 2πn,
n ∈ Z . Воспользуемся вторым достаточным условием экстремума, для того
чтобы выбрать среди критических точек точки экстремума . Найдем вторую
производную функции y 00 = − cos x − 2 cos 2x. Приведем значения второй
призводной в найденных точках в таблице

       x = 2πk, k ∈ Z        x = π(2k + 1), k ∈ Z            x = ± 2π
                                                                    3 + 2πn, n ∈ Z
                                                                                      3
      y 00 (x) = −3 < 0           y 00 (x) = −1 < 0                      y 00 (x) =   2   >0

                                                66

Страницы