Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 71 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1)y = 3x
2
− x
3
,
2)y =
a
3
x
2
+ a
2
,
3)y = x + x
5
3
,
4)y =
p
1 + x
2
,
5)y = e
−x
2
,
6)y = ln(1 + x
2
),
7)y = x + sin x,
8)y = x
x
.
15. АСИМПТОТЫ
15.1. Определение асимптоты. Пусть функция f(x) задана при достаточно
больших x. Прямая y = kx + b называется асимптотой к графику функции
f(x) при x → +∞, если
lim
x→+∞
(f(x) −kx − b) = 0.
Аналогично определяется асимптота к графику функции при x → −∞.
Если k = 0, то прямая y = b называется горизонтальной асимптотой.
Вертикальной асимптотой при x → a называется прямая x = k, если
lim
x→k
f(x) = ∞.
15.2. Отыскание асимптот к графику функции f(x). Если существуют
пределы
lim
x→+∞
f(x)
x
= k и lim
x→+∞
(f(x) −kx) = b,
то прямая y = kx + b является асимптотой к графику функции f(x) при
x → +∞. Аналогично отыскивается асимптота при x → −∞.
15.3. Отыскание асимптот к кривой, заданной параметрически. Пусть кри-
вая задана параметрически уравнениями x = x(t); y = y(t). Если существует
такое t
0
, что lim
t→t
0
x(t) = +∞, lim
t→t
0
y(t) = +∞ и существуют пределы
lim
t→t
0
y(t)
x(t)
= k и lim
x→t
0
(y(t) − kx(t)) = b,
то прямая y = kx + b является асимптотой к кривой при x → +∞. Анало-
гично отыскивается асимптота при x → −∞.
71
                                                                   2
                                                          5)y = e−x ,
          1)y = 3x2 − x3 ,
                   a3                                6)y = ln(1 + x2 ),
          2)y = 2         ,
                 x + a2
                       5                              7)y = x + sin x,
           3)y = x + x 3 ,
                p
          4)y = 1 + x2 ,                                  8)y = xx .


                              15. АСИМПТОТЫ
15.1. Определение асимптоты. Пусть функция f (x) задана при достаточно
больших x. Прямая y = kx + b называется асимптотой к графику функции
f (x) при x → +∞, если

                              lim (f (x) − kx − b) = 0.
                          x→+∞

Аналогично определяется асимптота к графику функции при x → −∞.
Если k = 0, то прямая y = b называется горизонтальной асимптотой.
Вертикальной асимптотой при x → a называется прямая x = k , если

                                  lim f (x) = ∞.
                                  x→k

15.2. Отыскание асимптот к графику функции f (x). Если существуют
пределы
                      f (x)
                    lim     = k и lim (f (x) − kx) = b,
                x→+∞ x            x→+∞
то прямая y = kx + b является асимптотой к графику функции f (x) при
x → +∞. Аналогично отыскивается асимптота при x → −∞.
15.3. Отыскание асимптот к кривой, заданной параметрически. Пусть кри-
вая задана параметрически уравнениями x = x(t); y = y(t). Если существует
такое t0 , что lim x(t) = +∞, lim y(t) = +∞ и существуют пределы
             t→t0                 t→t0

                         y(t)
                    lim       = k и lim (y(t) − kx(t)) = b,
                    t→t0 x(t)       x→t0

то прямая y = kx + b является асимптотой к кривой при x → +∞. Анало-
гично отыскивается асимптота при x → −∞.

                                         71

Страницы