Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 76 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Как следует из таблицы, в точках x
2
= −1 и x
4
=
−3+
√
17
2
— минимумы,
а в точках x
1
=
−3−
√
17
2
и x
3
= 0 — максимумы. Причем f(x
1
) ' −8, 82,
lim
x→−1
f(x) = ∞, f(x
1
) = 0 и f(x
4
) ' −0, 06.
Найдем вторую производную
y
00
=
(3x
2
+ 6x − 2)(x − 1)
3
− 3(x + 1)
2
(x
3
+ 3x
2
) − 2x
(1 + x)
6
=
10x − 2
(1 + x)
4
.
Вторая производная равна нулю в точке x = 0, 2 и не определена в при
x = −1. В точке x = 0, 2 вторая производная меняет знак с "−"на "+"и в
точке x = −1 вторая производная не меняет знак. Следовательно, на про-
межутках (−∞; −1) и (−1; 0, 2) функция выпукла вверх, а на промежутке
(0, 2; +∞) выпукла вниз. Точка x = 0, 2 является точкой перегиба.
График функции представлен на рис. 1.¤
16.2.2. Построить график функции
y = (x + 2)
2
3
− (x − 2)
2
3
.
5 Функция определена на всей числовой прямой. Данная функция явля-
ется нечетной, поэтому достаточно исследовать ветвь графика при x > 0.
Для построения полного графика необходимо к полученной ветви добавить
ее симметричное относительно начала координат отображение. Функция не
периодична. Найдем нули функции. Уравнение
(x + 2)
2
3
− (x − 2)
2
3
= 0 эквивалентно |x + 2| = |x + 2|.
Решая последнее, получаем, что точка x = 0 — нуль функции. Функция
f(x) > 0 при x > 0 и f(x) < 0 при x < 0. Функция непрерывна на всей
области существования. Так как предел
lim
x→∞
(x + 2)
2
3
− (x − 2)
2
3
= lim
x→∞
(x − 2)
2
− (x + 2)
2
(x + 2)
4
3
+ (x − 2)
2
3
(x + 2)
2
3
+ (x − 2)
4
3
=
= lim
x→∞
8x
3
√
x
4
= 0,
то прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой к графику функции
при x → ∞.
76
                                                                       √
                                                                   −3+ 17
Как следует из таблицы, в точках x2 = −1 и x4 =                       2     — минимумы,
                        √
                    −3− 17
а в точках x1 =        2     и x3 = 0 — максимумы. Причем f (x1 ) ' −8, 82,
lim f (x) = ∞, f (x1 ) = 0 и f (x4 ) ' −0, 06.
x→−1
Найдем вторую производную

        00 (3x2 + 6x − 2)(x − 1)3 − 3(x + 1)2 (x3 + 3x2 ) − 2x   10x − 2
       y =                                                     =          .
                               (1 + x)6                          (1 + x)4
Вторая производная равна нулю в точке x = 0, 2 и не определена в при
x = −1. В точке x = 0, 2 вторая производная меняет знак с "−"на "+"и в
точке x = −1 вторая производная не меняет знак. Следовательно, на про-
межутках (−∞; −1) и (−1; 0, 2) функция выпукла вверх, а на промежутке
(0, 2; +∞) выпукла вниз. Точка x = 0, 2 является точкой перегиба.
График функции представлен на рис. 1.¤
16.2.2. Построить график функции
                                             2             2
                                 y = (x + 2) 3 − (x − 2) 3 .

5 Функция определена на всей числовой прямой. Данная функция явля-
ется нечетной, поэтому достаточно исследовать ветвь графика при x > 0.
Для построения полного графика необходимо к полученной ветви добавить
ее симметричное относительно начала координат отображение. Функция не
периодична. Найдем нули функции. Уравнение
                    2              2
             (x + 2) 3 − (x − 2) 3 = 0 эквивалентно |x + 2| = |x + 2|.

Решая последнее, получаем, что точка x = 0 — нуль функции. Функция
f (x) > 0 при x > 0 и f (x) < 0 при x < 0. Функция непрерывна на всей
области существования. Так как предел
                2            2                        (x − 2)2 − (x + 2)2
   lim (x + 2) − (x − 2) = lim
                3            3
                                                  4            2       2           4   =
  x→∞                              x→∞   (x + 2) 3 + (x − 2) 3 (x + 2) 3 + (x − 2) 3
                                   8x
                            = lim √
                                  3
                                       = 0,
                              x→∞   x4
то прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой к графику функции
при x → ∞.

                                             76

Страницы