Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 78 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

График функции представлен на рис. 2.¤
16.2.3. Построить график функции
y = sin x +
sin 3x
3
.
5 Функция определена на всей числовой прямой и является нечетной. Функ-
ция периодична с периодом 2π . Достаточно исследовать функцию на отрезке
[0, π]. Весь график получается симметричным относительно начала коорди-
нат продолжением графика на отрезке [0, π] и, далее, периодическим про-
должением.
Найдем нули функциии. Упростим функцию
sin x +
sin 3x
3
= sin x + sin x −
4
3
sin
3
x = 2 sin x(1 −
2
3
sin
2
x).
Так как 1 −
2
3
sin
2
x > 0 при всех x, то уравнение sin x +
sin 3x
3
= 0 сводится
к уравнению sin x = 0. Решая последнее, получаем что точки x = πk, k ∈
Z
— нули функции. На отрезке [0, π] функция f(x) > 0, значит (исходя из
нечетности) на отрезке [−π, 0] функция f(x) < 0. Функция непрерывна и не
имеет ассимптот.
Найдем производную
y
0
= cos x+cos 3x = cos x+4 cos
3
x−3 cos x = 2 cos x(2 cos
2
x−1) = 2 cos x cos 2x.
На отрезке [0, π] производная равна нулю при x =
π
4
, x =
π
2
и x =
3π
4
. Для
исследования на экстремум используем второй достаточный признак экстре-
мума. Найдем вторую производную y
00
= −(sin x + 3 sin 3x). В точках x =
π
4
и x =
3π
4
вторая производная y
00
= −2
√
2 < 0, следовательно в этих точках
— локальные максимумы и f(
π
4
) = f(
3π
4
) =
2
√
2
3
' 0, 94.
В точке x =
π
2
вторая производная y
00
= 2 > 0, следовательно в точке x =
π
4
— локальнй минимум и f(
π
2
) =
2
3
' 0, 67.
Найдем точки перегиба. Для этого решим уравнение
sin x + 3 sin 3x = 10 sin x − 12 sin
3
x = 0.
78
График функции представлен на рис. 2.¤

16.2.3. Построить график функции
                                                         sin 3x
                                 y = sin x +                    .
                                                            3
5 Функция определена на всей числовой прямой и является нечетной. Функ-
ция периодична с периодом 2π . Достаточно исследовать функцию на отрезке
[0, π]. Весь график получается симметричным относительно начала коорди-
нат продолжением графика на отрезке [0, π] и, далее, периодическим про-
должением.
Найдем нули функциии. Упростим функцию
                  sin 3x                  4                    2
        sin x +          = sin x + sin x − sin3 x = 2 sin x(1 − sin2 x).
                     3                    3                    3
Так как 1 − 32 sin2 x > 0 при всех x, то уравнение sin x +                     sin 3x
                                                                                  3     = 0 сводится
к уравнению sin x = 0. Решая последнее, получаем что точки x = πk, k ∈ Z
— нули функции. На отрезке [0, π] функция f (x) > 0, значит (исходя из
нечетности) на отрезке [−π, 0] функция f (x) < 0. Функция непрерывна и не
имеет ассимптот.
Найдем производную

y 0 = cos x+cos 3x = cos x+4 cos3 x−3 cos x = 2 cos x(2 cos2 x−1) = 2 cos x cos 2x.

На отрезке [0, π] производная равна нулю при x = π4 , x =                        π
                                                                                 2   и x=    3π
                                                                                              4 .   Для
исследования на экстремум используем второй достаточный признак экстре-
мума. Найдем вторую производную y 00 = −(sin x + 3 sin 3x). В точках x = π4
                                     √
и x = 3π
       4 вторая производная y 00
                                 = −2  2 < 0, следовательно в этих точках
                                                              √
                                                             2 2
— локальные максимумы и        f ( π4 )   =   f ( 3π
                                                   4 )   =    3     ' 0, 94.
              π                                 00                                                    π
В точке x =   2   вторая производная y = 2 > 0, следовательно в точке x =                             4
— локальнй минимум и f ( π2 ) =       2
                                      3   ' 0, 67.
Найдем точки перегиба. Для этого решим уравнение

                     sin x + 3 sin 3x = 10 sin x − 12 sin3 x = 0.


                                                78

Страницы