Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 79 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 3: График функции примера 16.2.3.
Вторая производная на отрезке [0, π] равна нулю при
x
0
= 0, x
1
= arcsin
r
5
6
' 0, 37π, x
2
= π − arcsin
r
5
6
' 0, 63π, x
3
= π.
На отрезках [0, x
1
] и [x
2
, π] вторая производная отрицательна, следовательно
функция выпукла вверх. На отрезке [x
1
, x
2
] вторая производная положитель-
на, следовательно функция выпукла вниз. Точки x
0
, x
1
, x
2
и x
3
являются
точками перегиба.
Построим график функции сначала на отрезке [0, π]. Затем отобразим полу-
ченную кривую симметрично началу координат. Имеем график функции на
отрезке [−π, π]. Периодически продолжим график на всю числовую прямую.
График функции представлен на рис. 3.¤
16.2.4. Построить кривую, заданную параметрически уравнениями
x(t) =
3at
1 + t
3
; y(t) =
3at
2
1 + t
3
.
5 Построим сначала вспомогательные графики функций x = x(t) и y = y(t).
Обе функции определены всюду, кроме точки t = −1, не являются четными
или нечетными, не являются периодичными. Точка t = 0 является нулем
обеих функций. Функция x(t) > 0 при t < −1 и t > 0, x(t) < 0 при
−1 < t < 0. Функция y(t) > 0 при t > −1 и y(t) < 0 при t < −1. Заметим,
что lim
t→∞
x(t) = lim
t→∞
y(t) = 0. Значит, прямая x = 0 является горизонталь-
ной асимптотой функции x = x(t) и прямая y = 0 является горизонтальной
асимптотой функции y = y(t). Кроме того, прямая t = 0 является верти-
кальной асимптотой обеих функций.
79
                      Рис. 3: График функции примера 16.2.3.

Вторая производная на отрезке [0, π] равна нулю при
                       r                             r
                         5                             5
   x0 = 0, x1 = arcsin     ' 0, 37π, x2 = π − arcsin     ' 0, 63π, x3 = π.
                         6                             6
На отрезках [0, x1 ] и [x2 , π] вторая производная отрицательна, следовательно
функция выпукла вверх. На отрезке [x1 , x2 ] вторая производная положитель-
на, следовательно функция выпукла вниз. Точки x0 , x1 , x2 и x3 являются
точками перегиба.
Построим график функции сначала на отрезке [0, π]. Затем отобразим полу-
ченную кривую симметрично началу координат. Имеем график функции на
отрезке [−π, π]. Периодически продолжим график на всю числовую прямую.
График функции представлен на рис. 3.¤

16.2.4. Построить кривую, заданную параметрически уравнениями
                                  3at             3at2
                          x(t) =        ; y(t) =        .
                                 1 + t3          1 + t3
5 Построим сначала вспомогательные графики функций x = x(t) и y = y(t).
Обе функции определены всюду, кроме точки t = −1, не являются четными
или нечетными, не являются периодичными. Точка t = 0 является нулем
обеих функций. Функция x(t) > 0 при t < −1 и t > 0, x(t) < 0 при
−1 < t < 0. Функция y(t) > 0 при t > −1 и y(t) < 0 при t < −1. Заметим,
что lim x(t) = lim y(t) = 0. Значит, прямая x = 0 является горизонталь-
    t→∞         t→∞
ной асимптотой функции x = x(t) и прямая y = 0 является горизонтальной
асимптотой функции y = y(t). Кроме того, прямая t = 0 является верти-
кальной асимптотой обеих функций.


                                        79

Страницы