Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 2: График функции примера 16.2.2.
Найдем производную
y
0
=
2
3
3
√
x + 2
−
2
3
3
√
x − 2
=
=
2((x − 2) − (x + 2))
3
3
√
x + 2
3
√
x − 2((x + 2)
4
3
+ (x − 2)
2
3
(x + 2)
2
3
+ (x − 2)
4
3
)
=
=
−8
3
3
√
x + 2
3
√
x − 2((x + 2)
4
3
+ (x − 2)
2
3
(x + 2)
2
3
+ (x − 2)
4
3
)
.
Производная не определена в точках x = −2, x = 2 и нигде не равна ну-
лю. В точке x = 2 знак производной меняется с "+"на "− поэтому x = 2
является точкой локального максимума. Из соображений симметрии x = −2
— точка минимума. Причем f(2) = 2
3
√
2 ' 2, 52, f(−2) = −2
3
√
2 ' −2, 52.
На промежутках (−∞, −2) и (2, +∞) функция убывает, а на промежутке
(−2, 2) возрастает.
Найдем вторую производную
y
00
=
−2
9(x + 2)
4
3
+
2
9(x − 2)
4
3
=
=
−2((x − 2)
4
− (x + 2)
4
)
9(x + 2)
4
3
(x − 2)
4
3
((x + 2)
8
3
+ (x − 2)
4
3
(x + 2)
4
3
+ (x − 2)
8
3
)
=
=
−8x(1 + x
2
)
9(x + 2)
4
3
(x − 2)
4
3
((x + 2)
8
3
+ (x − 2)
4
3
(x + 2)
4
3
+ (x − 2)
8
3
)
.
Вторая производная равна нулю в точке x = 0 и не определена при x = −2
и x = 2. В точке x = 0 вторая производная меняет знак с "−"на "+"и
при x = −2 и x = 2 вторая производная не меняет знак. Следовательно, на
промежутках (−∞, −2) и (−2, 0) функция выпукла вверх, а на промежутках
(0, 2) и (2, +∞) выпукла вниз. Точка x = 0 является точкой перегиба.
77
                        Рис. 2: График функции примера 16.2.2.

Найдем производную
                                   2     2
                            y0 = √   − √    =
                                33x+2 33x−2
                             2((x − 2) − (x + 2))
       = √        √                4           2         2           4   =
         3 3 x + 2 3 x − 2((x + 2) 3 + (x − 2) 3 (x + 2) 3 + (x − 2) 3 )
                                       −8
        = √        √                 4           2         2           4 .
          3 3 x + 2 3 x − 2((x + 2) 3 + (x − 2) 3 (x + 2) 3 + (x − 2) 3 )
Производная не определена в точках x = −2, x = 2 и нигде не равна ну-
лю. В точке x = 2 знак производной меняется с "+"на "− поэтому x = 2
является точкой локального максимума. Из соображений симметрии x = −2
                                   √                       √
— точка минимума. Причем f (2) = 2 3 2 ' 2, 52, f (−2) = −2 3 2 ' −2, 52.
На промежутках (−∞, −2) и (2, +∞) функция убывает, а на промежутке
(−2, 2) возрастает.
Найдем вторую производную
                                       −2                   2
                           y 00 =               4   +            4   =
                                    9(x + 2)    3       9(x − 2) 3
                               −2((x − 2)4 − (x + 2)4 )
       =            4         4             8                4           4   8   =
           9(x + 2) 3 (x − 2) 3 ((x + 2) 3 + (x − 2) 3 (x + 2) 3 + (x − 2) 3 )
                                        −8x(1 + x2 )
        =          4         4          8           4         4           8 .
          9(x + 2) 3 (x − 2) 3 ((x + 2) 3 + (x − 2) 3 (x + 2) 3 + (x − 2) 3 )
Вторая производная равна нулю в точке x = 0 и не определена при x = −2
и x = 2. В точке x = 0 вторая производная меняет знак с "−"на "+"и
при x = −2 и x = 2 вторая производная не меняет знак. Следовательно, на
промежутках (−∞, −2) и (−2, 0) функция выпукла вверх, а на промежутках
(0, 2) и (2, +∞) выпукла вниз. Точка x = 0 является точкой перегиба.

                                                77

Страницы