Функции одной вещественной переменной (пределы, производные, графики). Луговая Г.Д - 83 стр.

UptoLike

заданных функций:
y
0
x
=
y
0
(t)
x
0
(t)
=
t(2 t
3
)
1 2t
3
y
00
xx
=
y
00
xt
(t)
x
0
(t)
=
2(t
3
+ 1)
2
(1 2t
3
)
2
÷
3a(1 2t
3
)
(1 + t
3
)
2
=
2(t
3
+ 1)
4
(1 2t
3
)
3
.
Исследование знака первой производной подтверждает сведения, приведен-
ные в таблице выше. Вторая производная меняет знак с "+"на ""при
возрастании параметра t в точке t =
1
3
2
. Следовательно, на промежутках
(−∞, 1) и (1,
1
3
2
) функция выпукла вниз, а на промежутке (
1
3
2
, +)
выпукла вверх. Точка x(
1
3
2
) = a
3
4 является точкой перегиба. Из графи-
ка видно, что точка x = 0, y = 0, соответствующая значению параметра
t +, также является точкой перегиба на одной из ветвей кривой.
Кривая изображена на рис. 6.¤
16.3. УПРАЖНЕНИЯ.
16.3.1. Построить графики следующих функций
1)y = 3x
2
x
3
,
2)y =
x
4
(1 + x)
3
,
3)y =
µ
1 + x
1 x
4
,
4)y =
(1 + x)
3
(1 x)
2
,
5)y = (x 3)
x,
6)y =
3
x
2
3
p
x
2
+ 1,
7)y = (x + 1)
2
3
+ (x 1)
2
3
,
8)y =
x
3
x
2
1
,
9)y =
3
r
x
2
x + 1
,
10)y = cos
4
x + sin
4
x,
11)y = cos x
1
2
cos 2x,
12)y = cos
2
x + sin x,
13)y =
sin x
sin(x + π/4)
,
14)y = e
2xx
2
,
15)y = (1 + x
2
)e
x
2
,
16)y =
e
x
1 + x
,
17)y = ln(x +
p
1 + x
2
),
18)y =
ln x
x
,
19)y = x + arctg x,
20)y = x arctg x,
83
заданных функций:
                                       y 0 (t)   t(2 − t3 )
                               yx0 =           =
                                       x0 (t)     1 − 2t3
                  00
             00  yxt (t) 2(t3 + 1)2 3a(1 − 2t3 ) 2(t3 + 1)4
            yxx= 0      =             ÷            =             .
                 x (t)    (1 − 2t3 )2   (1 + t3 )2   (1 − 2t3 )3
Исследование знака первой производной подтверждает сведения, приведен-
ные в таблице выше. Вторая производная меняет знак с "+"на "−"при
                                                 1
возрастании параметра t в точке t =              3 .
                                                 √
                                                   2
                                                       Следовательно, на промежутках
                   1
(−∞, −1) и (−1,     функция выпукла вниз, а на промежутке ( √312 , +∞)
                   3 )
                   √
                     2
                                  √
выпукла вверх. Точка x( √312 ) = a 3 4 является точкой перегиба. Из графи-
ка видно, что точка x = 0, y = 0, соответствующая значению параметра
t → +∞, также является точкой перегиба на одной из ветвей кривой.
Кривая изображена на рис. 6.¤


                          16.3. УПРАЖНЕНИЯ.
16.3.1. Построить графики следующих функций

                                                          10)y = cos4 x + sin4 x,
          1)y = 3x2 − x3 ,                                               1
                                                         11)y = cos x − cos 2x,
                   x4                                                    2
          2)y =          ,                                12)y = cos2 x + sin x,
                (1 + x)3
               µ      ¶4                                              sin x
                 1+x                                      13)y =                ,
         3)y =             ,                                      sin(x + π/4)
                 1−x
                                                                            2

                 (1 + x)3                                      14)y = e2x−x ,
           4)y =          ,
                 (1 − x)2                                 15)y = (1 + x2 )e−x ,
                                                                                  2

                       √
         5)y = (x − 3) x,                                              ex
              √     p                                        16)y =        ,
              3      3                                               1+x
       6)y = x2 − x2 + 1,                                              p
                    2            2
                                                        17)y = ln(x + 1 + x2 ),
     7)y = (x + 1) 3 + (x − 1) 3 ,
                                                                      ln x
                     x                                        18)y = √ ,
          8)y = √         ,                                              x
                 3
                   x2 − 1
                 r                                         19)y = x + arctg x,
                 3    x2
          9)y =           ,                                   20)y = x arctg x,
                    x+1
                                            83