ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
заданных функций:
y
0
x
=
y
0
(t)
x
0
(t)
=
t(2 − t
3
)
1 − 2t
3
y
00
xx
=
y
00
xt
(t)
x
0
(t)
=
2(t
3
+ 1)
2
(1 − 2t
3
)
2
÷
3a(1 − 2t
3
)
(1 + t
3
)
2
=
2(t
3
+ 1)
4
(1 − 2t
3
)
3
.
Исследование знака первой производной подтверждает сведения, приведен-
ные в таблице выше. Вторая производная меняет знак с "+"на "−"при
возрастании параметра t в точке t =
1
3
√
2
. Следовательно, на промежутках
(−∞, −1) и (−1,
1
3
√
2
) функция выпукла вниз, а на промежутке (
1
3
√
2
, +∞)
выпукла вверх. Точка x(
1
3
√
2
) = a
3
√
4 является точкой перегиба. Из графи-
ка видно, что точка x = 0, y = 0, соответствующая значению параметра
t → +∞, также является точкой перегиба на одной из ветвей кривой.
Кривая изображена на рис. 6.¤
16.3. УПРАЖНЕНИЯ.
16.3.1. Построить графики следующих функций
1)y = 3x
2
− x
3
,
2)y =
x
4
(1 + x)
3
,
3)y =
µ
1 + x
1 − x
¶
4
,
4)y =
(1 + x)
3
(1 − x)
2
,
5)y = (x − 3)
√
x,
6)y =
3
√
x
2
−
3
p
x
2
+ 1,
7)y = (x + 1)
2
3
+ (x − 1)
2
3
,
8)y =
x
3
√
x
2
− 1
,
9)y =
3
r
x
2
x + 1
,
10)y = cos
4
x + sin
4
x,
11)y = cos x −
1
2
cos 2x,
12)y = cos
2
x + sin x,
13)y =
sin x
sin(x + π/4)
,
14)y = e
2x−x
2
,
15)y = (1 + x
2
)e
−x
2
,
16)y =
e
x
1 + x
,
17)y = ln(x +
p
1 + x
2
),
18)y =
ln x
√
x
,
19)y = x + arctg x,
20)y = x arctg x,
83
заданных функций:
y 0 (t) t(2 − t3 )
yx0 = =
x0 (t) 1 − 2t3
00
00 yxt (t) 2(t3 + 1)2 3a(1 − 2t3 ) 2(t3 + 1)4
yxx= 0 = ÷ = .
x (t) (1 − 2t3 )2 (1 + t3 )2 (1 − 2t3 )3
Исследование знака первой производной подтверждает сведения, приведен-
ные в таблице выше. Вторая производная меняет знак с "+"на "−"при
1
возрастании параметра t в точке t = 3 .
√
2
Следовательно, на промежутках
1
(−∞, −1) и (−1, функция выпукла вниз, а на промежутке ( √312 , +∞)
3 )
√
2
√
выпукла вверх. Точка x( √312 ) = a 3 4 является точкой перегиба. Из графи-
ка видно, что точка x = 0, y = 0, соответствующая значению параметра
t → +∞, также является точкой перегиба на одной из ветвей кривой.
Кривая изображена на рис. 6.¤
16.3. УПРАЖНЕНИЯ.
16.3.1. Построить графики следующих функций
10)y = cos4 x + sin4 x,
1)y = 3x2 − x3 , 1
11)y = cos x − cos 2x,
x4 2
2)y = , 12)y = cos2 x + sin x,
(1 + x)3
µ ¶4 sin x
1+x 13)y = ,
3)y = , sin(x + π/4)
1−x
2
(1 + x)3 14)y = e2x−x ,
4)y = ,
(1 − x)2 15)y = (1 + x2 )e−x ,
2
√
5)y = (x − 3) x, ex
√ p 16)y = ,
3 3 1+x
6)y = x2 − x2 + 1, p
2 2
17)y = ln(x + 1 + x2 ),
7)y = (x + 1) 3 + (x − 1) 3 ,
ln x
x 18)y = √ ,
8)y = √ , x
3
x2 − 1
r 19)y = x + arctg x,
3 x2
9)y = , 20)y = x arctg x,
x+1
83
