ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
61
В результате умножения вектора
F
на скаляр а получается новый вектор, модуль
которого в а раз больше вектора
F
, а направление совпадает с направлением вектора
F
, если
скаляр положителен, и противоположно ему, если скаляр отрицателен.
Скалярное произведение двух векторов
a
и
b
– это скалярная величина, равная
произведению модулей векторов
a
и
b
, умноженному на косинус угла между ними:
ababba
a
соs
, (П.2)
где в формулу введена проекция вектора
b
на направление вектора
a
(b
а
= b cos α) (рис.
П.1б).
Векторное произведение векторов
a
и
b
– это вектор
c
, равный по модулю
произведению модулей векторов
a
и
b
на синус угла α между ними (рис. П.1в).
bac
,
c = absinα, (П.3)
Вектор
c
перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы
a
и
b
, его
направление можно найти, например, по правилу правого буравчика – вращательное движение
буравчика должно совпадать с направлением кратчайшего поворота от
a
к
b
, тогда его
поступательное движение дает направление
c
.
2. Градиент скалярной величины a
. Пусть в пространстве каким-либо образом
распределена скалярная величина а – это может быть поле температуры (а =
Т), потенциальной
энергии (
а = U) и т. д. Такое поле можно охарактеризовать градиентом а. Под градиентом
скалярной величины понимают вектор, который в каждой точке пространства направлен в
сторону наиболее быстрого возрастания а и численно равный приращению величины а на
единицу длины этого направления.
,,
dl
da
gradak
z
a
j
y
a
i
x
a
grada
(П.4)
где
l
- направление
grada
в данной точке пространства;
векторы
kji
,,
- векторы единичной длины,
указывающие направление осей Ох, Оу, Оz в пространстве
(рис. П2). Они позволяют представить произвольный
вектор
b
в виде суммы его проекций на оси (рис. П2):
.kbjbibb
zyx
(П.5)
При вычислении производной величины а по координате х в формуле (П.4) считается,
что координаты y и z остаются постоянными – такая производная называется частной
производной по координате х:
Рис. П.1.
Рис. П.2.
