ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
62
., constzconsty
dx
da
x
a
Аналогичные предположения принимаются при расчете частных производных по
координатам
y
и
z.
3. Циркуляция и поток вектора
a
.
Возьмем в неоднородном поле
воображаемый замкнутый контур Г,
укажем произвольно направление его
обхода и введем вектор
ld
, равный по
модулю элементарной длине dl
контура. В каждой точке вектор
ld
совпадает с касательной к контуру и
направлен по обходу контура (рис. П.3а).
Тогда циркуляцией вектора
a
по произвольному замкнутому контуру Г называют
интеграл следующего вида:
Г
adllda .cos
(П.6)
Можно утверждать, что если для поля вектора
a
циркуляция вектора
a
по
произвольному замкнутому контуру Г равна нулю, то это поле является потенциальным
(например, электростатическое поле вектора
E
). Если же циркуляция
a
по произвольному
замкнутому контуру Г отлична от нуля, то поле вектора
a
не является потенциальным, его
называют вихревым полем.
Введем понятие потока Ф вектора
a
. Возьмем в неоднородном поле вектора
a
произвольную поверхность
S, выделим на ней элементарную площадку dS
и введем вектор
Sd
, направленный вдоль вектора нормали
n
к площадке (рис. П.3б). Модуль
Sd
равен
площади
dS элементарной площадки.
Тогда
элементарным потоком dФ вектора
a
через площадку
dS называют величину
.cos
ad
S
S
dad
Ф
Суммируя потоки dФ через все площадки
dS
поверхности
S, найдем поток вектора
a
через поверхность
S:
SSS
adSSdadФ .cos
Ф
(П.7)
Если учесть, что густота вектора
a
определяет модуль вектора
a
в данной точке поля,
то тогда поток вектора
a
численно равен количеству
N
линий
a
, пронизывающих поверхность
S.
4. Дивергенция и ротор вектора
a
. Для решения практических задач необходимо
применять математический аппарат, позволяющий учитывать тип векторных полей не только в
большом объеме пространства, но и в малой окрестности какой-либо точки. Для этого вводятся
понятия дивергенции (
adiv
) и ротора (
aro
t
) вектора
a
.
Возьмем объем поля
V, ограниченного замкнутой поверхностью S, и будем стягивать
поверхность в малую окрестность точки
А (рис. П.4
а)
Тогда дивергенцией вектора
a
называют предел
S
V
Sda
V
adiv .lim
1
0
(П.8)
Рис. П.3.
