Составители:
Рубрика:
,
dU
IC
dt
=
2
2
.
i
dU
ELC
dt
=−
(4)
Подставим последнее выражение в (1), получим дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колеба-
ний:
2
2
1
0,
dU
U
dt LC
+
= (5)
Решением этого уравнения является:
00
cos ,UU t
ω
=
где U
0
- амплитудное значение напряжения, которое не зависит от времени;
0
ω
- собственная частота контура, равная
0
1
,
L
C
ω
=
а период собственных незатухающих колебаний:
0
2TLC
π
= .
Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебаний
расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно
уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания. Рассмотрим реальный колебательный контур, содержащий ка-
тушку индуктивности L, конденсатор емкостью С и сопротивление R (рис. 1 ,в).
По
второму правилу Кирхгофа для такого контура
i
UIRE
+
=
(6)
где U
R
=IR - напряжение на сопротивлении.
Используя соотношения (2), (3) и (4), уравнение (6)
примет вид:
2
2
1
0
dU RdU
U
dt Ldt LC
+
+=
(7)
Дифференциальное уравнение (7) описывает затухающие колебания. Его решением является:
0
cos ,
t
UUe t
β
ω
−
=
(8)
где β - коэффициент затухания,
ω
- частота затухающих колебаний
,
2
R
L
β
=
(9)
ω
- циклическая частота затухающих колебаний:
222
0
1
()
2
R
LC L
ω
ωβ
=− =−
(10)
при этом
R
C
K
+
+
L
C
K
+
+
L
C
+
+
L
a б в
Рис.1
dU d 2U
I =C , Ei = − LC . (4)
dt dt 2
K K R
+ + L + + L + + L
C C C
a б в
Рис.1
Подставим последнее выражение в (1), получим дифференциальное уравнение незатухающих гармонических колеба-
ний:
d 2U 1
2
+ U = 0, (5)
dt LC
Решением этого уравнения является:
U = U 0 cos ω0t ,
где U0 - амплитудное значение напряжения, которое не зависит от времени;
ω0 - собственная частота контура, равная
1
ω0 = ,
LC
а период собственных незатухающих колебаний:
T0 = 2π LC .
Проводники контура всегда обладают электрическим сопротивлением, поэтому часть энергии в процессе колебаний
расходуется на нагрев проводников. Вследствие этого амплитуда электромагнитных колебаний в контуре постепенно
уменьшается, и в нем происходят затухающие колебания. Рассмотрим реальный колебательный контур, содержащий ка-
тушку индуктивности L, конденсатор емкостью С и сопротивление R (рис. 1 ,в).
По второму правилу Кирхгофа для такого контура
U + IR = Ei (6)
где UR=IR - напряжение на сопротивлении.
Используя соотношения (2), (3) и (4), уравнение (6) примет вид:
d 2U RdU 1
2
+ + U =0 (7)
dt Ldt LC
Дифференциальное уравнение (7) описывает затухающие колебания. Его решением является:
U = U 0e − β t cos ωt , (8)
где β - коэффициент затухания,
ω - частота затухающих колебаний
R
β= , (9)
2L
ω - циклическая частота затухающих колебаний:
1 R
ω= − ( ) 2 = ω0 2 − β 2 (10)
LC 2 L
при этом
