Составители:
Рубрика:
02
2
0
=++ UUU
ωβ
&&&
. (7)
Однородное уравнение (7) - уравнение затухающих колебаний. Его решение:
teUU
t
ω
β
cos
101
−
= , (8)
где
ω
- частота затухающих колебаний;
22
0
βωω
−=
Затухание определяется членом
t
e
β
−
. За время
β
1
=t
амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Затухание в
колебательном контуре связано с превращением энергии колебаний в джоулево тепло в сопротивлении
R . При
β
1
>>t
составляющая
1
U , решения уравнения (6) исчезнет, следовательно, она отражает переходный процесс,
определяемый начальными условиями и параметрами контура. Установившиеся колебания в цепи происходят с
частотой
Ω и возможным сдвигом по фазе. Частное решение уравнения (6) имеет вид:
(
)
ϕ
+
Ω
=
tUU cos
0
, (9)
где
0
U - амплитудное значение напряжения;
ϕ
- сдвиг фаз.
С использованием (9) и (6) можно определить:
()
22
2
22
0
2
00
0
4 Ω+Ω−
=
βω
ω
E
U
; (10)
22
0
2
Ω−
Ω
−=
ω
β
ϕ
tg . (11)
Таким образом, амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника
ЭДС
Ω и частоты
0
ω
. Ток в контуре
() ( )
100
cossin
ϕϕ
+Ω=+ΩΩ−== tItUC
d
t
dU
CI
, где 2
1
π
ϕ
ϕ
+= . Амплитуда
тока в контуре также зависит от соотношения частот
Ω
и
0
ω
:
()
22
2
22
0
2
00
0
4 Ω+Ω−
Ω
=
βω
ω
CE
I
(12)
График зависимости
0
I от
0
ω
Ω представлен на рис.2.
Рис. 2
Из графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при приближении циклической частоты
Ω
источника
ЭДС к частоте
0
ω
. Это явление называется резонансом, а кривые – резонансными кривыми. Величина максимума
зависит от
β
: при 0=
β
∞→
от
I (кривая 3); при увеличении
β
максимальное значение
от
I уменьшается (кривые 2
и 1),
1
ϕ
определяет разность фаз колебаний тока в контуре и внешней ЭДС:
Ω
Ω−
=−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
β
ω
ϕ
ϕ
π
ϕ
2
1
2
22
0
1
tg
tgtg
(13)
I
0
2
1
3
0
ω
Ω
U&& + 2βU& + ω02U = 0 . (7)
Однородное уравнение (7) - уравнение затухающих колебаний. Его решение:
U1 = U10 e − βt cos ωt , (8)
где ω - частота затухающих колебаний; ω = ω02 − β 2
1
Затухание определяется членом e − βt . За время t = амплитуда колебаний уменьшится в e раз. Затухание в
β
колебательном контуре связано с превращением энергии колебаний в джоулево тепло в сопротивлении R . При
1
t >> составляющая U1 , решения уравнения (6) исчезнет, следовательно, она отражает переходный процесс,
β
определяемый начальными условиями и параметрами контура. Установившиеся колебания в цепи происходят с
частотой Ω и возможным сдвигом по фазе. Частное решение уравнения (6) имеет вид:
U = U 0 cos(Ωt + ϕ ) , (9)
где U 0 - амплитудное значение напряжения;
ϕ - сдвиг фаз.
С использованием (9) и (6) можно определить:
E0ω02
U0 = ; (10)
2
(2 2
ω0 − Ω + 4β Ω 2 2
)
2βΩ
tgϕ = − . (11)
ω02 − Ω 2
Таким образом, амплитуда и фаза напряжения на конденсаторе зависят от соотношения частоты источника
dU
ЭДС Ω и частоты ω0 . Ток в контуре I = C = −CΩU 0 sin (Ωt + ϕ ) = I 0 cos(Ωt + ϕ1 ) , где ϕ1 = ϕ + π 2 . Амплитуда
dt
тока в контуре также зависит от соотношения частот Ω и ω0 :
E0Cω02 Ω
I0 = (12)
(
ω02 −Ω )
2 2
+ 4β Ω 2 2
График зависимости I 0 от Ω ω0 представлен на рис.2.
I0
2
3
1 Ω
ω0
Рис. 2
Из графика видно, что амплитуда тока резко возрастает при приближении циклической частоты Ω источника
ЭДС к частоте ω0 . Это явление называется резонансом, а кривые резонансными кривыми. Величина максимума
зависит от β : при β = 0 I от → ∞ (кривая 3); при увеличении β максимальное значение I от уменьшается (кривые 2
и 1), ϕ1 определяет разность фаз колебаний тока в контуре и внешней ЭДС:
⎛π ⎞ 1 ω 2 − Ω2
tgϕ1 = tg ⎜ + ϕ ⎟ = − = 0 (13)
⎝2 ⎠ tgϕ 2βΩ
