Линейные задачи оптимизации. Ч.1. Линейное программирование. Лутманов С.В. - 125 стр.

5. ПРИМЕНЕНИЕ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ В ТЕОРИИ ИГР


        Проиллюстрируем тот факт, что пара оптимальных смешанных
стратегий u0 , v0 образует седловую точку. С этой целью случайным образом
выберем смешанные стратегии первого и второго игроков
                                                  æ 101 ö÷         æ 19 ÷ö
                                                  çç ÷             çç ÷
                                                   çç 307 ÷÷        çç 16 ÷÷
                                                    çç ÷÷÷           ç ÷÷
                                             u = çç 151 ÷÷ , v = ççç 181 ÷÷÷
                                                     çç 1 ÷÷         çç 7 ÷÷
                                                      çç 3 ÷÷÷        çç 18 ÷÷÷
                                                       çç 4 ÷÷         çç 5 ÷÷
                                                        èç 15 ÷ø÷       èç 18 ÷÷ø

и проверим выполнение двойного неравенства
                                     M (u0 , v ) £ M (u0 , v0 ) £ M (u , v0 ) .                (10)

Действительно,
                4181                           701                        9113
M (u0 , v ) =        = 3.51936, M (u0 , v0 ) =     = 3.5404, M (u, v0 ) =      = 9.20505 , и
                1188                           198                        990
неравенство (10) имеет место.


                         Упражнения для самостоятельной работы
        1. Матричную игру с матрицей
                                              æ0 1 6                  5 7  4 ö÷
                                              çç                               ÷
                                               çç 2 4 5               3 4  1 ÷÷÷
                                                çç                             ÷
                                                 çç 3 2 8             1 8 12÷÷÷
                                                  çç                           ÷÷
                                                   çç 3 11 7          0 7 5 ÷÷
                                                    çç8 5 9                     ÷÷
                                                     è                4 3 2 ÷ø÷

      исследовать по следующей схеме:
        а) показать, что в игре существует седловая точка в классе «чистых»
стратегий;
        б) найти оптимальные «чистые» стратегии игроков
        в) определить цену игры.
        2. Матричную игру с матрицей
                                               æ 2 2 6 3 5 ö÷
                                               çç                     ÷
                                                çç 3 2 4 4 9 ÷÷
                                                 çç                   ÷÷
                                                  çç1 4 6 10 1 ÷÷÷
                                                   çç                  ÷÷
                                                    çç7 2 1 2 5 ÷÷÷
                                                     çç 3 14 47 24 39÷÷
                                                      è              ø÷

                                                           125