Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
118
[] []
()()
[]
()
00
00
,, ,
TT
T
tt
x
XTt x Xt B u d Xt W d
τ
τττ τ ττ
=+ +
∫∫
. (2)
Введем обозначения
[
]
[
]
(
)
[
]
0
,,,,,HT XT B t t T
ττττ
=∈,
[] []
()
τττ
dWtXxtTXxc
T
t
T
∫
−−=
0
,,
00
.
Определение 1. Матрицу
[
]
[
]
TttTH ,,,,
0
∈
τ
τ
будем называть переходной
матрицей объекта.
Условие (2) перепишем с учетом введенных обозначений
[]
()
τττ
dutHс
T
t
∫
=
0
, .
Пусть
(
[
]
[
]
0
,,, , , 1,,
i
ht t tT i n
ττ
∈= – строки переходной матрицы. Тогда по-
следнее равенство в координатной форме имеет вид
()
[]
()
()
0
,, ,1,,
T
T
i
i
t
с ht U di n
τττ
==
∫
. (3)
Вектор-функции
[]
()
()
[]
()
,,1,,
T
ii
hhTin⋅= ⋅ = отождествим с элементами линейно-
го функционального пространства
[
]
TtL
q
r
,
0
, где 1
11
=+
qp
. Такое предположение
правомерно, так как функции
]
(
)
,1,,
i
hi n⋅= непрерывны на
[]
Tt ,
0
. В дальней-
шем это пространство функций будем называть основным для рассматриваемой
задачи оптимального управления. Обозначим его символом
[]
Tt ,
0
Ω .
На основании теоремы о представлении линейных функционалов на про-
странстве функций [16] можно установить взаимно однозначное соответствие
между линейными функционалами
ϕ
, определенными на пространстве
[
]
Tt ,
0
Ω
и
программными управлениями
(
)
⋅
u
формулой
()
[]
() () ()
[]
Tthduhh
T
t
u
,,,
0
0
Ω∈⋅=⋅
∫
τττϕ
. (4)
Формула (4) позволяет отождествить совокупность программных управлений с
пространством
[
]
Tt ,
0
∗
Ω , сопряженным к основному пространству, т.е. с про-
                4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                       КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
                                          T                                  T
                xT = X [T , t0 ] x0 + ∫ X [t ,τ ]B (τ ) u (τ ) dτ + ∫ X [t ,τ ] W (τ ) dτ .                (2)
                                          t0                                 t0


Введем обозначения
                                H [T ,τ ] = X [T ,τ ] B (τ ) , t ,τ ∈ [t0 , T ] ,
                                                                       T
                               c = x T − X [T , t 0 ]x 0 − ∫ X [t ,τ ]W (τ )dτ .
                                                                       t0


     Определение 1. Матрицу H [T ,τ ], t ,τ ∈ [t0 , T ] будем называть переходной
матрицей объекта.
     Условие (2) перепишем с учетом введенных обозначений
                                                        T
                                                    с = ∫ H [t ,τ ]u (τ )dτ .
                                                        t0


Пусть h(i ) [t ,τ ] , t ,τ ∈ [t0 , T ] , i = 1, , n – строки переходной матрицы. Тогда по-

следнее равенство в координатной форме имеет вид
                                     T

                                               ( h( ) [t ,τ ])
                                                             T
                               сi = ∫                            , U (τ )   dτ , i = 1,   ,n.              (3)
                                                    i

                                     t0



Вектор-функции h[i] ( ⋅) = ( h(i ) [T , ⋅]) , i = 1, , n отождествим с элементами линейно-
                                                    T




                                                                                  1 1
го функционального пространства Lqr [t 0 , T ] , где                               + = 1 . Такое предположение
                                                                                  p q

правомерно, так как функции h[i] ( ⋅) , i = 1, , n непрерывны на [t0 , T ] . В дальней-

шем это пространство функций будем называть основным для рассматриваемой
задачи оптимального управления. Обозначим его символом Ω[t 0 , T ] .
     На основании теоремы о представлении линейных функционалов на про-
странстве функций [16] можно установить взаимно однозначное соответствие
между линейными функционалами ϕ , определенными на пространстве Ω[t0 , T ] и
программными управлениями u (⋅) формулой
                                               T
                           ϕ u [h (⋅)] = ∫ h (τ ) , u (τ ) dτ , h (⋅) ∈ Ω[t 0 , T ] .                      (4)
                                               t0


Формула (4) позволяет отождествить совокупность программных управлений с
пространством Ω ∗ [t 0 , T ] , сопряженным к основному пространству, т.е. с про-

                                                                 118

Страницы