Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 119 стр.

                    4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                           КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
странством линейных функционалов, определенных на Ω[t 0 , T ] . Превратим ли-
нейное пространство Ω[t 0 , T ] в нормированное, определив для каждого его эле-
мента h(⋅) ∈ Ω[t 0 , T ] норму
                                                             T
                               h (⋅) =        sup            ∫ h(τ ), u(τ ) dτ , I [u(⋅)] ≤ 1 .
                                         u (⋅ )∈Lrp [t0 ,T ] t
                                                                                                                   (5)
                                                                 0



В силу предположений 1)-3) формула (5) действительно определяет некоторую
норму ⋅ на основном пространстве Ω[t 0 , T ] [16], при этом естественная норма

         в сопряженном пространстве Ω ∗ [t 0 , T ] совпадает с функционалом I [u (⋅)] . Та-
     ∗
 ⋅

ким образом, задача об оптимальном управлении свелась к следующей функ-
циональной проблеме моментов.
         Задача 1. Пусть h [1] , , h [n ] ∈ H , где H – линейное нормированное простран-
ство и c1 , , c n ∈ R 1 . Требуется найти линейный функционал ϕ 0 ∈ H ∗ , для которого
                                                          ϕ 0 [h [i ] ] = c i , i = 1,     ,n ,                    (6)
и такой, что среди всех других функционалов ϕ ∈ H ∗ , удовлетворяющих усло-
                                                                              ∗
вию (6), он имел бы наименьшую норму ⋅ .

         Выведем необходимые и достаточные условия разрешимости задачи 1.
Прежде всего, заметим, что если c1 =                                      = c n = 0 , то решением проблемы момен-

тов будет тривиальный функционал. Поэтому в дальнейшем этот случай рас-
сматривать не будем. Полагаем
                              ⎧      n                                                      n
                                                                                                             ⎫
                          Q = ⎨h = ∑ l i h [i ] l i ∈ R 1 , i = 1,                  , n,   ∑l c   i   i   = 1⎬ .
                              ⎩    i =1                                                    i =1              ⎭

Справедливы следующие утверждения.
         Лемма 1. Пусть ϕ ∈ H ∗ линейный функционал, удовлетворяющий условию
(6). Тогда
                                                      ϕ [h ] = 1, ∀h ∈ Q .

         Доказательство. Для всех h ∈ Q имеем
                                       ⎡n                            ⎤ n
                                                                                  [ ]
                                                                                        n
                            ϕ [h ] = ϕ ⎢∑ l i h [i ]                 ⎥ = ∑ l iϕ h = ∑ li ci = 1 .
                                                                                 [i ]
                                       ⎣ i =1                        ⎦ i =1           i =1


Лемма доказана.
                                                                        119