Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 121 стр.

                 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                        КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
Переходя к пределу в равенстве
                                                         n
                                       hs = l smax      ∑l
                                                        i =1
                                                                 ∗
                                                                 is   h [i ] , s = 1,2,


по подходящей подпоследовательности, получим противоречие с условием (9).
       Случай, когда набор элементов h [i ] ∈ H , i = 1, , n не является независимым,
сводится к предыдущему случаю путем замены в (8) зависимых элементов ли-
нейными комбинациями независимых элементов. Лемма доказана.
      Определение 2. Элемент
                                                                n
                                                  h 0 = ∑ l i0 h [i ] ,
                                                               i =1


удовлетворяющий условию (7), назовем «минимальным», а его норму обозначим
символом ρ 0 .
      Теорема 1 (необходимые условия разрешимости проблемы моментов).
Пусть функционал ϕ 0 ∈ H ∗ решает функциональную проблему моментов (задачу
1). Тогда
                                                                               1
                                                ρ0 >0 и ϕ0 ≥                       .
                                                                              ρ0

      Доказательство. Предположим, что ρ 0 = 0 . Тогда h 0 = 0 . Последнее не-
возможно. Действительно, с одной стороны, из линейности функционала ϕ 0
вытекает, что ϕ 0 [h 0 ] = 0 , а, с другой стороны, в силу h 0 ∈ Q и леммы 1 должно
быть ϕ 0 [h 0 ] = 1 . Таким образом, ρ 0 > 0 .
                                                                                                   ∗
      С учетом вложения Q ⊂ H дадим оценку для величины ϕ 0 . Имеем:

                           ∗           ϕ ( h)           ϕ ( h)                     1    1    1
                      ϕ0       = sup            ≥ sup                   = sup        =     = 0 .
                                 h∈H     h        h∈Q          h           h∈Q     h inf h  ρ
                                                                                          h∈Q


Теорема доказана.
      Обозначим через
                                 ~ ⎧        n
                                                                                               ⎫
                                 H = ⎨h = ∑ l i h [i ] l i ∈ R 1 , i = 1,                 , n, ⎬
                                     ⎩    i =1                                                 ⎭
                                                                                                       ~
подпространство пространства H . Заметим, что для произвольного h ∈ H разложе-
ние
                                                               121