Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 123 стр.

                         4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
                                                                                                 ∗           1
                                                                                      ϕ0              =              .
                                                                                                             ρ0
                                               ~
     Доказательство. Определим функционал ϕ~ : H → R 1 , положив
                                                                                                 n
                                                                                                                                   ~
                                                                          ϕ~[h ] = ∑ l i ci , h ∈ H .                                                                                          (14)
                                                                                               i =1


Здесь l i , i = 1, , n – коэффициенты разложения (10). В силу леммы 3 функцио-
нал (14) определен однозначно. Кроме того, он линеен. Действительно, для всех
                         ~
α , β ∈ R 1 , h, g ∈ H имеет место равенство

                              ⎡                                                           ⎤             ⎡                                              ⎤
    ϕ~[αh + βg ] = ϕ~ ⎢α ∑ l i[h ]h [i ] + β ∑ l i[g ] h [i ] ⎥ = ϕ~ ⎢∑ (αl i[h ] + βl i[g ] )h [i ] ⎥ = ∑ (αl i[h ] + βl i[g ] ) c i =
                                      n                           n                                          n                                                 n


                              ⎣      i =1                      i =1                       ⎦             ⎣ i =1                                         ⎦      i =1

                                                       n                                   n
                                              = α ∑ l i[h ] с i + β ∑ l i[g ] c i = αϕ~[h ] + βϕ~[g ].
                                                   i =1                                   i =1




Выполнение равенств
                             ϕ~[h [i ] ] = ϕ~[0 ⋅ h [1] +                  + 1 ⋅ h [i ] +                                               ]
                                                                                                                 + 0 ⋅ h [n ] = c i , i = 1,                         ,n.



для функционала ϕ~ очевидно.
Обозначим
                                                                          ⎛ l1 ⎞
                                                                          ⎜ ⎟       ⎧                                     n
                                                                                                                                           ⎫
                                                                      l = ⎜ ⎟ , L = ⎨l                               ∑l c         i i   = 1⎬
                                                                          ⎜l ⎟      ⎩                                 i =1                 ⎭
                                                                          ⎝ n⎠

и вычислим норму функционала ϕ~ как линейного функционала, определенного
                                                                                                                     ~
на линейном нормированном пространстве H . Имеем:
                                                           n


                                     ϕ~[h ]
                                                           ∑l c       j   j
                                                                                                                     1                                          1
               ϕ~
                    ∗                                      j =1
                    H
                     ~   = sup                = sup                               = sup                                                     =                                              =
                             l∈R n        h    l∈R n              h                   l∈R n
                                                                                                       n
                                                                                                                     li                                 n
                                                                                                                                                                     li
                                                                                                     ∑           n
                                                                                                                                   h [i ]       infn
                                                                                                                                                l∈R
                                                                                                                                                       ∑      n
                                                                                                                                                                                  h [i ]
                                                                                                      i =1
                                                                                                             ∑l c
                                                                                                             j =1
                                                                                                                          j   j
                                                                                                                                                       i =1
                                                                                                                                                              ∑l c
                                                                                                                                                              j =1
                                                                                                                                                                          j   j



                                                                                  1                            1     1
                                                           =                                           =           = 0 .
                                                                              n
                                                                                                             inf h  ρ
                                                               inf
                                                                ∗
                                                               l ∈L
                                                                          ∑l
                                                                          i =1
                                                                                      ∗
                                                                                      i   h [i ]             h∈Q




                                                                                                 123