Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 122 стр.

                          4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                 КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
                                                                             n
                                                                h = ∑ l i h [i ]                                                                                         (10)
                                                                           i =1


не всегда однозначно. Тем не менее, справедливо следующее утверждение.
                                                                                                                                                    n
                                                                                                                               ~
       Лемма 3. Пусть ρ 0 > 0 . Тогда для любого h ∈ H величина                                                                                    ∑ l c , где
                                                                                                                                                   i =1
                                                                                                                                                          i   i   l1 ,    , ln

– коэффициенты разложения (10), полностью определяется элементом h ∈ H ∗
и не зависит от конкретного вида разложения (10).
                                                                                                                                                              ~
       Доказательство. Допустим противное. Тогда найдется h ∈ H , для кото-
рого
                                       n                     n                                 n                                n
                                h = ∑ l i ' h [i ] = ∑ l i ' ' h [i ] ,                    ∑ l i ' ci ≠ ∑ l i ' ' ci .                                                   (11)
                                      i =1                  i =1                              i =1                             i =1


Из условий (11) выводим, что
                                       n                                             n

                                     ∑ (li '−l i ' ')h [i ]
                                      i =1
                                                                     = 0,          ∑ (l '−l ' ')c
                                                                                    i =1
                                                                                                   i           i       i        ≠0.                                      (12)

                                                                                                                   n
Первое равенство в (12) разделим на величину                                                                   ∑ (l '−l ' ')c
                                                                                                               i =1
                                                                                                                           i          i   i   ≠ 0 . Имеем

                                                     n
                                                                     (l i '−l i ' ')
                                                    ∑                                                  h [i ] = 0 .                                                      (13)
                                                            ∑ (l           ' −l j ' ' ) c j
                                                            n
                                                    i =1
                                                                       j
                                                            j =1


Обозначим
                                                            (li '−li ' ')
                                             li =                                         , i = 1,                         ,n .
                                                    ∑ (l            ' −l j ' ' ) c j
                                                      n

                                                                j
                                                     j =1

          n
Тогда   ∑l c
         i =1
                i   i   = 1 и равенство (13) запишется в виде

                                                     n                                    n

                                                    ∑ l i h [i ] = 0,
                                                    i =1
                                                                                       ∑l c
                                                                                         i =1
                                                                                                       i   i   = 1.

Последнее означает, что 0 ∈ Q , а это противоречит условию ρ 0 > 0 . Лемма
доказана.
       Теорема 2 (достаточные условия разрешимости проблемы моментов).
Пусть ρ 0 > 0 . Тогда проблема моментов имеет решение – функционал ϕ 0 . При
этом


                                                                                 122