Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 124 стр.

               4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                      КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
    По следствию из теоремы Хана-Банаха [16 ] линейный функционал ϕ~
                                                                                 ~
может быть продолжен с подпространства H на все пространство H без
увеличения его нормы. Обозначим это продолжение через ϕ 0 . Легко видеть,
что для функционала ϕ 0 выполнены условия (6), а величина его нормы совпада-
ет с нижней оценкой из теоремы 1 для нормы функционала, решающего задачу
1. Следовательно, функционал ϕ 0 является искомым. Теорема доказана.
    Теорема 3(принцип максимина). Пусть ϕ 0 ∈ H ∗ – решение задачи 1, h 0 ∈ Q
                                       ⎧                     ∗             1 ⎫
– «минимальный» элемент и G = ⎨ϕ ∈ H ∗ ϕ =                                    ⎬ . Тогда
                                       ⎩                                   ρ0 ⎭

                                      ϕ 0 (h 0 ) = max ϕ [h 0 ].
                                                    ϕ ∈G


    Доказательство. Для всякого функционала ϕ ∈ G справедливо

                                ϕ (h 0 ) ≤ ϕ
                                               ∗                  1
                                                   h0 =                    ⋅ ρ 0 = 1.
                                                              ρ       0



С другой стороны, в силу леммы 1 имеет место равенство ϕ (h 0 ) = 1 . Теорема
доказана.
    Применим теоремы 1-3 к рассматриваемой линейной задаче теории опти-
мального управления. В результате получим следующее утверждение.
    Теорема 4. Задача оптимального управления имеет решение тогда и
только тогда, когда для r -мерной вектор-функции h 0 (⋅) , найденной из условия
(7), где ⋅ определяется формулой (5), а

                                    ⎧           n
                                                                   ⎫
                                Q = ⎨h ( ⋅) = ∑ li h[ ] ( ⋅) l ∈ L ⎬ ,
                                                     i

                                    ⎩         i =1                 ⎭

справедливо неравенство h 0 = ρ 0 > 0 . При этом I [u 0 (⋅)] =
                                                                                                       1
                                                                                                            , и оптимальное
                                                                                                       ρ0

управление на минимальном элементе h 0 обладает свойством максимума
                        T                                                 T

                        ∫    h 0 (τ ), u 0 (τ ) dτ = max                  ∫    h 0 (τ ), u (τ ) dτ .                   (15)
                                                                  1
                        t0                          I [u (⋅ )]=           t0
                                                                  ρ0


    Опираясь на утверждение теоремы 4, сформулируем правило решения за-
дачи об оптимальном управлении.


                                                   124