Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
125
На первом этапе следует посредством формулы (5) ввести норму на линей-
ном пространстве
r
-мерных функций
[
]
Tt ,
0
Ω
. На втором – строится «мини-
мальный» элемент
()
⋅
0
h из условия (7), и на третьем – из условия (15) определя-
ется оптимальное управление
(
)
⋅
0
u .
4.2. Управляемость линейной динамической системы. Важной характе-
ристикой динамической системы является ее управляемость.
Определение 3. Линейная динамическая система
(
)
(
)
x
At x Btu=+
(1)
называется вполне управляемой на промежутке времени
[
]
0
,tT, если для любых
векторов
0
,
n
T
x
xR∈ существует такое программное управление
()
u ⋅ , что для
него выполняется равенство
(
)
(
)
00
,, ,
T
x
txu x
⋅= .
Относительно системы (1) дополнительно предположим, что элементы
матриц
()
At и
()
B
t непрерывно дифференцируемы не менее чем 1n − раз по пе-
ременной
t на промежутке времени
[
]
0
,tT. Полагаем
() () () () () () () () () ()
1211 11
,,,
nnn
dd
Lt Bt Lt AtLt Lt L t AtL t L t
dt dt
−−
==− =− .
Сконструируем матрицу
(
)
(
)
(
)
(
)
1
,,
n
Kt L t L t=
размера
()
nrn×⋅.
Теорема 5. Пусть существует момент времени
[
]
0
,ttT
∗
∈ такой, что
()
rang K t n
∗
=
⎡⎤
⎣⎦
. Тогда система (1) вполне управляема на промежутке времени
[
]
0
,tT
.
Доказательство. Достаточно установить, что для всех
,0
n
cRc∈≠ спра-
ведливо неравенство
() ( )
[]
()
[]
()
()
11
00
1
11
,min min ,
nn
ii ii
ii
n
T
i
i
i
lc lc
chc lh XTB l
ρ
==
=
==
=⋅= ⋅= ⋅⋅=
∑∑
∑
                           4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                  КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
         На первом этапе следует посредством формулы (5) ввести норму на линей-
ном пространстве r -мерных функций Ω[t 0 , T ] . На втором – строится «мини-
мальный» элемент h 0 (⋅) из условия (7), и на третьем – из условия (15) определя-
ется оптимальное управление u 0 (⋅) .
         4.2. Управляемость линейной динамической системы. Важной характе-
ристикой динамической системы является ее управляемость.
               Определение 3. Линейная динамическая система
                                                                    x = A (t ) x + B (t ) u                                                      (1)

называется вполне управляемой на промежутке времени [t0 , T ] , если для любых

векторов x0 , xT ∈ R n существует такое программное управление u ( ⋅) , что для

него выполняется равенство
                                                                x ( ⋅, t0 , x0 , u ( ⋅) ) = xT .

               Относительно системы (1) дополнительно предположим, что элементы
матриц A ( t ) и B ( t ) непрерывно дифференцируемы не менее чем n − 1 раз по пе-

ременной t на промежутке времени [t0 , T ] . Полагаем
                                                                       d                                                      d
                 L1 ( t ) = B ( t ) , L2 ( t ) = A ( t ) L1 ( t ) −       L1 ( t ) ,     , Ln ( t ) = A ( t ) Ln −1 ( t ) −      Ln −1 ( t ) .
                                                                       dt                                                     dt
Сконструируем матрицу
                                                         K ( t ) = ( L1 ( t ) ,        , Ln ( t ) )

размера n × ( r ⋅ n ) .

               Теорема 5. Пусть существует момент времени t∗ ∈ [t0 , T ] такой, что

rang ⎡⎣ K ( t∗ ) ⎤⎦ = n . Тогда система (1) вполне управляема на промежутке времени

[ t0 , T ] .
               Доказательство. Достаточно установить, что для всех c ∈ R n , c ≠ 0 спра-
ведливо неравенство
                                                                       n
                            ρ 0 ( c ) = h0 ( c, ⋅) = min              ∑ l h[ ] (⋅)                 ( X [T , ⋅] B (⋅) ) l =
                                                                                  i                                     T
                                                          n                  i         = min
                                                                                         n
                                                         ∑ li ci =1   i =1              ∑ li ci =1
                                                         i =1                              i =1




                                                                                 125

Страницы