Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 127 стр.

                       4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                              КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
независимых столбцов матрицы K ( t∗ ) . Последнее невозможно. Следовательно,

ρ 0 ( c∗ ) ≠ 0 . Теорема доказана.

        Пример 1. Покажем, что динамическая система из примера 2.7.
                                                          x1 = x3 ,
                                                          x2 = x4 ,

                                             x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + u1 ,
                                                      1
                                             x2 =        x3 + ( sin t ) x4 + u2
                                                    t +1
является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить линей-
ную независимость первых четырех столбцов матрицы K ( t ) . Последователь-

но находим
          ⎛0       0  1      0 ⎞                                                                           ⎛ 1       0 ⎞
          ⎜                       ⎟               ⎛0        0⎞                                             ⎜              ⎟
          ⎜0       0  0      1 ⎟                  ⎜          ⎟                                             ⎜  0      1 ⎟
                                                     0      0⎟                                 d
  A(t ) = ⎜ 0      0 cos t   t ⎟ , L1 ( t ) = B = ⎜             , L2 ( t ) = A ( t ) L1 ( t ) − L1 ( t ) = ⎜ cos t t ⎟ ,
          ⎜                       ⎟               ⎜1        0⎟                                 dt          ⎜              ⎟
          ⎜⎜ 0        1                           ⎜⎜         ⎟⎟                                               1
                   0       sin t ⎟⎟                ⎝0       1⎠                                             ⎜
                                                                                                           ⎜       sin t ⎟⎟
           ⎝         1+ t         ⎠                                                                        ⎝ 1+ t         ⎠

                                                   ⎛0       0     1   0 ⎞
                                                   ⎜                       ⎟
                                                   ⎜0       0  0      1 ⎟
                                          K (t ) = ⎜ 1      0 cos t   t ⎟.
                                                   ⎜                       ⎟
                                                   ⎜⎜ 0        1
                                                            1       sin t ⎟⎟
                                                    ⎝         1+ t         ⎠

        Вычислим определитель матрицы K ( t ) . Имеем

                               0 0       1          0
                               0 0  0      1   0 0 1
                                                         1 0
                               1 0 cos t   t =1 0    t =     =1≠ 0 .
                                                         0 1
                                    1          0 1 sin t
                               0 1       sin t
                                   1+ t

Таким образом, ранг матрицы K ( t ) равен четырем при всех t ∈ [ 0,1] и рассмат-

риваемая динамическая система является вполне управляемой.
        В частности, пусть A = const , B = const . Тогда K = ( B, AB, , An −1 B ) и провер-

ка полной управляемости системы (1) сводится к доказательству равенства
rang [ K ] = n .



                                                            127