Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 128 стр.

              4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                     КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
     Пример 2. Покажем, что динамическая система из примера 2.3.
                                  x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + u1 ,
                                  x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + u2 ,
                                  x3 = 2 x1 − x2 + x3 + u3 ,

является вполне управляемой. Действительно, достаточно установить ли-
нейную независимость первых трех столбцов матрицы K . В силу
                                             ⎛1 0 0⎞
                                             ⎜     ⎟
                                         B = ⎜0 1 0⎟
                                             ⎜0 0 1⎟
                                             ⎝     ⎠

этот факт очевиден.
     4.3. Управление по критерию «минимум энергии». Конкретизируем
процедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая,
когда минимизируемый функционал имеет вид
                                                                  1
                                           ⎡
                                           T                     ⎤2
                               I [u (⋅)] = ⎢ ∫ u (τ ), u (τ ) dτ ⎥ .                      (1)
                                           ⎣⎢t0                  ⎦⎥

    Эта величина играет роль оценки количества энергии, затрачиваемой в
процессе управления динамическим объектом. Нетрудно видеть, что функцио-
нал (1) удовлетворяет условиям 1)-3) предыдущего пункта.
    Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управ-
ления необходимо решить следующую задачу:
                      T                                   T

                      ∫ u(τ ) , h(τ ) dτ → max, ∫ u(τ ) , u(τ ) dτ = 1 .
                      t0                                  t0


    Эта задача является изопериметрической задачей вариационного исчисле-
ния. Ее решение записывается в виде
                                                       1
                                        u h (⋅) = −      h(⋅) ,
                                                      2λ
где постоянная λ ∈ R 1 вычисляется путем подстановки управления u h (⋅) в урав-
нение связи. В результате вычислений получим
                                                1                                     1
                                                                                  −
                     1⎡                    ⎤                      ⎡          ⎤
                           T                    2                     T               2
               λ = − ⎢ ∫ h(τ ), h(τ ) dτ ⎥ , u h (⋅) = h(⋅)⎢ ∫ h(τ ), h(τ ) dτ ⎥ .
                     2 ⎢⎣t0                ⎥⎦                     ⎢⎣t0       ⎥⎦


                                                    128