Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 126 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
126
[]
()
()
()
0
,0
T
XT B l c=⋅⋅ >.
Допустим противное. Тогда существует вектор
n
cR
∗
∈
такой, что
(
)
0
0c
ρ
∗
=
.
Это возможно, если по переменной
t на промежутке
[
]
0
,tT
выполняется тож-
дество
[]
()
()
()
[]
()
()
(
)
()
(
)
[]
(
)
()
00 0
11
,, ,0
TT T
T
XTtBt l c XTtL t l c L t XTt l c
∗∗ ∗
== =. (2)
Продифференцируем (2) по переменной
t . Имеем
()
()
[]
()
()
[]
()
()
()
00
1
,,
TT
T
dd
Lt XTt l c XTtBt l c
dt dt
∗∗
⎡
⎤⎡ ⎤
=
=
⎣
⎦⎣ ⎦
[]
() ()
[]
()
()
() () ()
[]
()
()
00
,, ,
TT
T
dd
XTtAtBt XTt Bt l c AtBt Bt XTt l c
dt dt
∗∗
⎛⎞⎛⎞
=− + =− + =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
() () ()
[]
()
()
()
()
[]
()
()
00
11 2
,,0
T
TT
T
d
At L t L t XTt l c L t XTt l c
dt
∗∗
⎛⎞
=− + = =
⎜⎟
⎝⎠
. (3)
Дифференцируя (3) по переменной
t еще 2n
−
раза включительно по аналогии
получим
()
()
[]
()
()
()
()
[]
()
()
00
23
,,0
TT
TT
d
Lt XTt l c Lt XTt l c
dt
∗∗
⎡⎤
=
⎣⎦
,
………………………………………………………
()
()
[]
()
()
()
()
[]
()
()
00
1
,,0
TT
TT
nn
d
Lt XTtlc Lt XTtlc
dt
∗∗
−
⎡⎤
=
=
⎣⎦
.
[
]
0
,ttT∈ . (4)
Обозначим
()
[]
(
)
(
)
[]
0
0
,, ,,
T
n
gc t XTt l c R t t T
∗∗
=∈∈.
Заметим, что
()
,0gc t
∗
≠ для всех
[
]
0
,ttT∈
. Перепишем тождества (2)-(4) в виде
()
()
()
()
()
(
)
()
(
)
(
)
[]
12 0
, 0, , 0, , , 0, ,
TT T
n
L t gc t L t gc t L t gc t t t T
∗∗ ∗
== =∈ . (5)
Из равенств (5) следует, что в любой момент времени
[
]
0
,ttT∈ ненулевой
n −
мерный вектор
()
,gct
∗
ортогонален каждому из столбцов матрицы
(
)
Kt. В
том числе и в момент времени
[
]
0
,ttT
∗
∈ он ортогонален каждому из n линейно 
                       4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                              КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
                                                   = ( X [T , ⋅] B ( ⋅) ) l 0 ( c ) > 0 .
                                                                                    T




Допустим противное. Тогда существует вектор c∗ ∈ R n такой, что ρ 0 ( c∗ ) = 0 .

Это возможно, если по переменной t на промежутке [t0 , T ] выполняется тож-

дество

         ( X [T , t ] B ( t ) ) l ( c ) = ( X [T , t ] L ( t ) ) l ( c ) = ( L ( t ) ) ( X [T , t ]) l ( c ) = 0 .
                               T                                       T                                        T           T
                                   0   ∗
                                                            1
                                                                            0           ∗
                                                                                                    1
                                                                                                                                    0       ∗
                                                                                                                                                            (2)

Продифференцируем (2) по переменной t . Имеем
                         d ⎡                                           d
                              ( L1 ( t ) ) ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) ⎤ = ⎡( X [T , t ] B ( t ) ) l 0 ( c∗ ) ⎤ =
                                          T             T                                      T

                         dt ⎣                                       ⎦ dt ⎣                                 ⎦
                                                               T                                                                T
    ⎛                                          d        ⎞              ⎛                    d        ⎞
  = ⎜ − X [T , t ] A ( t ) B ( t ) + X [T , t ] B ( t ) ⎟ l 0 ( c∗ ) = ⎜ − A ( t ) B ( t ) + B ( t ) ⎟                              ( X [T , t ]) l ( c ) =
                                                                                                                                                T   0   ∗

    ⎝                                          dt       ⎠              ⎝                    dt       ⎠
                                               T
           ⎛                     d         ⎞
         = ⎜ − A ( t ) L1 ( t ) + L1 ( t ) ⎟       ( X [T , t ]) l ( c ) = ( L ( t ) ) ( X [T , t ]) l ( c ) = 0 .
                                                                   T                                        T           T
                                                                       0        ∗
                                                                                                2
                                                                                                                            0           ∗
                                                                                                                                                            (3)
           ⎝                     dt        ⎠

Дифференцируя (3) по переменной t еще n − 2 раза включительно по аналогии
получим
                        d ⎡
                             ( L2 ( t ) ) ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) ⎤ = ( L3 ( t ) ) ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) = 0 ,
                                         T             T                           T             T

                        dt ⎣                                       ⎦

                         ………………………………………………………
                       d ⎡
                            ( Ln −1 ( t ) ) ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) ⎤ = ( Ln ( t ) ) ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) = 0 .
                                           T             T                           T             T

                       dt ⎣                                          ⎦

                                                                   t ∈ [ t0 , T ] .                                                                         (4)

       Обозначим
                                       g ( c∗ , t ) = ( X [T , t ]) l 0 ( c∗ ) ∈ R n , t ∈ [t0 , T ] .
                                                                       T




Заметим, что g ( c∗ , t ) ≠ 0 для всех t ∈ [t0 , T ] . Перепишем тождества (2)-(4) в виде

         ( L ( t ) ) g ( c , t ) = 0, ( L ( t ) ) g ( c , t ) = 0, , ( L ( t ) ) g ( c , t ) = 0, t ∈ [t , T ] .
                   T                                T                                                   T
            1
                           ∗
                                           2
                                                           ∗
                                                                                            n
                                                                                                                    ∗
                                                                                                                                        0                   (5)

       Из равенств (5) следует, что в любой момент времени t ∈ [t0 , T ] ненулевой

n − мерный вектор g ( c∗ , t ) ортогонален каждому из столбцов матрицы K ( t ) . В

том числе и в момент времени t∗ ∈ [t0 , T ] он ортогонален каждому из n линейно




                                                                           126

Страницы