Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
129
Тогда норма на пространстве
[
]
Tt ,
0
Ω
определяется формулой
() () () () ()
2
1
2
1
00
,,
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
=⋅
∫∫
T
t
T
t
hh
dhhduuh
ττττττ
.
Второй этап процедуры, состоящий в построении «минимального» элемен-
та
()
⋅
0
h , сводится к задаче математического программирования следующего ви-
да:
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
0 0
11 ,1
,,min,
TT
nn n
ii ij
ii ij
ii ij
tt
lh lh d h h d ll l L
τττ τττ
== =
⎡⎤
=
→∈
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∑∑ ∑
∫∫
.
Или по-другому:
1min,
11,
=→
∑∑
==
i
n
i
iji
n
ji
ij
lcll
α
,
где
[]
()
[]
()
0
,,,1,,
T
ij
ij
t
hhdij n
ατττ
==
∫
. (2)
Пусть вектор
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
0
0
1
0
n
l
l
l
– решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент
вычисляется по формуле
()
[]
()
00
1
n
i
i
i
hlh
=
⋅
=⋅
∑
.
Заключительный третий этап построения оптимального управления снова
сводится к решению изопериметрической задачи вариационного исчисления
() () () ()
()
2
0
0
1
,max,,
00
ρ
ττττττ
=→
∫∫
T
t
T
t
duudhu .
Ее решением является вектор-функция
() ()
001
1
,
2
UhR
µ
µ
⋅
=− ⋅ ∈ ,
где
() ()
()
2
00
2
1
00
2
1
,
2
1
0
ρρτττµ
−=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−=
∫
T
t
dhh . 
                         4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
Тогда норма на пространстве Ω[t 0 , T ] определяется формулой
                                                                                        1                                1
                                            ⎡T                        ⎤ 2 ⎡T                  ⎤2
                                     h(⋅) = ⎢ ∫ u h (τ ), u h (τ ) dτ ⎥ = ⎢ ∫ h(τ ), h(τ ) dτ ⎥ .
                                            ⎣⎢t0                      ⎦⎥  ⎢⎣t0                ⎦⎥

      Второй этап процедуры, состоящий в построении «минимального» элемен-
та h 0 (⋅) , сводится к задаче математического программирования следующего ви-
да:
         T     n                      n                                  n      ⎡ T [i ]            ⎤
         ∫ ∑ l h (τ ) , ∑ l h (τ )                                dτ = ∑ ⎢ ∫ h (τ ) , h[ ] (τ ) dτ ⎥ li l j → min, l ∈ L .
                         [i ]                   [i ]                                     j
                     i                      i
         t0   i =1                   i =1                                       ⎢ t0
                                                                       i , j =1 ⎣                  ⎥⎦

Или по-другому:
                                                         n                                      n

                                                       ∑ α ij l i l j → min,
                                                       i , j =1
                                                                                            ∑c l
                                                                                            i =1
                                                                                                    i i   = 1,

где
                                                         T
                                                α ij = ∫ h[i] (τ ) , h[ j ] (τ ) dτ , i, j = 1,                  ,n .             (2)
                                                         t0


                   ⎛ l10 ⎞
                   ⎜ ⎟
Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент
                   ⎜l 0 ⎟
                   ⎝ n⎠

вычисляется по формуле
                                                                                 n
                                                                    h0 ( ⋅) = ∑ li0 h[ ] ( ⋅) .
                                                                                            i

                                                                                i =1


      Заключительный третий этап построения оптимального управления снова
сводится к решению изопериметрической задачи вариационного исчисления
                                T                                                      T
                                                                                                             1
                                ∫    u (τ ) , h 0 (τ ) dτ → max,                       ∫ u(τ ), u(τ ) dτ = (ρ )               .
                                                                                                                        0 2
                                t0                                                     t0


Ее решением является вектор-функция
                                                                              1
                                                        U 0 ( ⋅) = −            h0 ( ⋅) , µ ∈ R1 ,
                                                                             2µ

где
                                                                                                1

                                               1⎡                      ⎤2 0
                                                   T
                                          µ = − ⎢ ∫ h (τ ) , h (τ ) dτ ⎥ ρ = − (ρ 0 ) .
                                                      0       0               1      2

                                               2 ⎣⎢t0                  ⎥⎦     2


                                                                                129

Страницы