Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 130 стр.

                       4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                              КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
Таким образом, оптимальное управление, решающее задачу теории оптималь-
ного управления, имеет вид
                                                                                                  n                       n
                                                       1                           1
                                U 0 ( ⋅) =                       h 0 ( ⋅) =                  ∑ li0 h[ ] (τ ) = ∑ν i0 h[ ] (τ ) ,
                                                                                                        i                     i
                                                                                                                                                          (3)
                                                      (ρ    )
                                                           0 2
                                                                              (ρ        )
                                                                                       0 2
                                                                                                 i =1                 i =1



             l i0
где ν =
     0
                    , i = 1,    , n . Очевидно, что
    i
           (ρ )
              0 2


                                                                                                                  1
                                                        ⎡T 0                   ⎤2 1
                                        I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = ⎢ ∫ U (τ ) , u (τ ) dτ ⎥ =
                                             0                        0
                                                                                      .
                                                        ⎣⎢ t0                  ⎥⎦  ρ0

    Воспользовавшись соотношениями (3), укажем другой способ формирова-
ния оптимального управления, который быстрее и проще приводит к цели. Под-
ставив выражение (3) в равенство (1.3), получим
               T                 n                                      n         T                                           n
          ci = ∫ h  [i ]
                           (τ ) , ∑ν   0
                                       j   h   [ j]
                                                      (τ ) dτ = ∑ν ∫          0
                                                                              j         h[ ] (τ ) , h[
                                                                                             i              j]
                                                                                                                 (τ ) dτ = ∑ν 0j α ij ,   i = 1,   ,n .   (4)
               t0               j =1                            j =1              t0                                          j =1


    Таким образом, решение задачи об оптимальном управлении можно начи-
нать непосредственно с решения системы линейных алгебраических уравнений
(4), а оптимальное программное управление вычислять по формуле (3).
    Итак, оптимальное управление для случая минимизации «энергии» един-
ственно, непрерывно в каждой точке интервала [t 0 , T ] , пропорционально «ми-
нимальному» элементу h 0 (⋅) и зависит линейно от краевых условий.
         Пример 3*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект
                                                                x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + u1 ,
                                                                x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + u2 ,
                                                                x3 = 2 x1 − x2 + x3 + u3 ,

                                                                        t0 = 0, T = 1 ;

                x10 = −3, x20 = 2, x30 = 1; xT 1 = −80.7746, xT 2 = −147,179, xT 3 = −8.94415;
                                                                                                                      1
                                                       ⎡1 2                                  ⎤2
                                       I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = ⎢ ∫ ( u1 (τ ) + u22 (τ ) + u32 (τ ) ) ⎥ → min .                                                    (5)
                                                       ⎣0                                    ⎦

    В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения ди-
намического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из при-
мера 2.3. Конечное положение фазового вектора совпадает с той точкой фа-
                                                                                  130