Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
131
зового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазо-
вый вектор оптимальное управление из примера 2.3.
Последовательно вычисляем
[]
[
]
[
]
[
]
[] [] []
[] [] []
[] [] []
11 12 13
21 22 23
31 32 33
,,,
,,,,,,,,,
,,,
xt xt xt
Xt x t x t x t Ht Xt B Xt
xt xt xt
τττ
τ
τττττ τ
τττ
⎛⎞
⎜⎟
===
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
[]
()
[
]
[]
[]
[]
()
[
]
[]
[]
[]
()
[
]
[]
[]
[]
11 21 31
12 3
12 22 32
13 23 33
1, 1, 1,
1, , 1, , 1, , 0,1
1, 1, 1,
xxx
hx hx hx
xxx
τττ
τττττττ
τττ
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
===∈
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
,
[]
()
[]
()
1
1
0
,,,1,2,3
i
ij
hhdij
ατττ
==⇒
∫
11 12 13
21 22 23
31 32 33
4770.34 8405.45 469.812
8405.45 14824.4 832.786
469.812 832.786 48.3062
ααα
ααα
ααα
⎛⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟
=
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
.
[]
11 10
22 20
33 30
67.4743
1,0 115.885
5.34546
T
T
T
cx x
cxX x
cx x
−
⎛⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
=− =−
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎜⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
−
⎝⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
.
Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)
11 1 12 2 13 3 1
21 1 22 2 23 3 2
31 1 32 2 33 3 3
,
,
c
c
c
α
ναναν
αν αν αν
αν αν αν
+
+=
++=
++=
.
Ее решением будут числа
00 0
12 3
0.0682083, 0.0954224, 0.871024
ν
νν
==−=.
Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:
()
[
]
)
[
]
)
[
]
)
[
]
123
00 0 0
123
,0,1Ut h h h t
ντντντ
=++ ∈.
Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении
() () ()
1
1
2
000
0
, 1.34153IU U U d
τττ
⎡⎤
⎡⎤
⋅= =
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∫
.
Заметим, что для оптимального управления из примера 2.3 функционал
(5) принимает значение
3 1.73205 1.34153=>. Такой результат является есте-
ственным, поскольку оптимальное управление в примере 2.3 определялось из
условия минимума другого критерия, а не функционала (5). 
                           4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                  КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
зового пространства, в которую переводит в конечный момент времени фазо-
вый вектор оптимальное управление из примера 2.3.
    Последовательно вычисляем
                                   ⎛ x11 [t ,τ ] x12 [t ,τ ] x13 [t ,τ ] ⎞
                                   ⎜                                     ⎟
                       X [t ,τ ] = ⎜ x21 [t ,τ ] x22 [t ,τ ] x23 [t ,τ ] ⎟ , H [t ,τ ] = X [t ,τ ] B = X [t ,τ ] ,
                                   ⎜ x [ t ,τ ] x [ t , τ ] x [ t ,τ ] ⎟
                                   ⎝ 31           32          33         ⎠

                        ⎛ x11 [1,τ ] ⎞            ⎛ x21 [1,τ ] ⎞            ⎛ x31 [1,τ ] ⎞
                        ⎜            ⎟            ⎜            ⎟            ⎜            ⎟
               h (τ ) = ⎜ x12 [1,τ ] ⎟ , h (τ ) = ⎜ x22 [1,τ ] ⎟ , h (τ ) = ⎜ x32 [1,τ ] ⎟ , τ ∈ [ 0,1] ,
                     [1]                  [ 2]                      [3]

                        ⎜ x [1,τ ] ⎟              ⎜ x [1,τ ] ⎟              ⎜ x [1,τ ] ⎟
                        ⎝ 13         ⎠            ⎝ 23         ⎠            ⎝ 33         ⎠

        1                                                    ⎛ α11 α12 α13 ⎞ ⎛ 4770.34 8405.45 469.812 ⎞
  α ij = ∫ h   [1]           [i ]
                     (τ ) , h (τ )     dτ , i, j = 1, 2,3 ⇒ ⎜⎜ α 21 α 22 α 23 ⎟⎟ = ⎜⎜ 8405.45 14824.4 832.786 ⎟⎟ .
                                                             ⎜α                ⎟ ⎜                             ⎟
                                                             ⎝ 31 α 32 α 33 ⎠ ⎝ 469.812 832.786 48.3062 ⎠
        0



                                          ⎛ c1 ⎞ ⎛ xT 1 ⎞              ⎛ x10 ⎞ ⎛ −67.4743 ⎞
                                          ⎜ ⎟ ⎜           ⎟            ⎜ ⎟ ⎜                ⎟
                                          ⎜ c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟ − X [1, 0] ⎜ x20 ⎟ = ⎜ −115.885 ⎟ .
                                          ⎜c ⎟ ⎜ x ⎟                   ⎜ x ⎟ ⎜ −5.34546 ⎟
                                          ⎝ 3 ⎠ ⎝ T3 ⎠                 ⎝ 30 ⎠ ⎝             ⎠

    Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)
                                                      α11ν 1 + α12ν 2 + α13ν 3 = c1 ,
                                                      α 21ν 1 + α 22ν 2 + α 23ν 3 = c2 , .
                                                      α 31ν 1 + α 32ν 2 + α 33ν 3 = c3

Ее решением будут числа
                                    ν 10 = 0.0682083, ν 20 = −0.0954224, ν 30 = 0.871024 .

Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:
                                    U 0 ( t ) = ν 10 h[ ] (τ ) +ν 20 h[                               , t ∈ [ 0,1] .
                                                                          2]
                                                      1
                                                                               (τ ) +ν 30 h[3] (τ )
Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении
                                                                                                1
                                                        ⎡   1
                                                                                             ⎤2
                                      I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = ⎢   ∫   U 0 (τ ) , U 0 (τ )       dτ ⎥ = 1.34153 .
                                                        ⎣   0                                ⎦
      Заметим, что для оптимального управления из примера 2.3 функционал
(5) принимает значение                           3 = 1.73205 > 1.34153 . Такой результат является есте-

ственным, поскольку оптимальное управление в примере 2.3 определялось из
условия минимума другого критерия, а не функционала (5).



                                                                          131

Страницы