Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 133 стр.

                         4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
            ⎛ x11 [t ,τ ]      x12 [t ,τ ]     x13 [t ,τ ]       x14 [t ,τ ] ⎞                            ⎛0        0 ⎞ ⎛ x13 [t ,τ ]     x14 [t ,τ ] ⎞
            ⎜                                                                ⎟                            ⎜            ⎟ ⎜                             ⎟
               x [ t ,τ ]      x22 [t ,τ ]     x23 [t ,τ ]       x24 [t ,τ ] ⎟                               0      0 ⎟ ⎜ x23 [t ,τ ]     x24 [t ,τ ] ⎟
X [t ,τ ] = ⎜ 21                                                                , H [ t ,τ ] = X [ t ,τ ] ⎜             =
            ⎜ x31 [t ,τ ]      x32 [t ,τ ]     x33 [t ,τ ]       x34 [t ,τ ] ⎟                            ⎜1        0 ⎟ ⎜ x33 [t ,τ ]     x34 [t ,τ ] ⎟
            ⎜⎜                                                               ⎟⎟                           ⎜⎜           ⎟ ⎜                            ⎟
             ⎝ x41 [t ,τ ]     x42 [t ,τ ]     x43 [t ,τ ]       x44 [t ,τ ] ⎠                             ⎝0       1 ⎟⎠ ⎝⎜ x43 [t ,τ ]   x44 [t ,τ ] ⎟⎠


              ⎛ x [1,τ ] ⎞              ⎛ x23 [1,τ ] ⎞            ⎛ x33 [1,τ ] ⎞            ⎛ x43 [1,τ ] ⎞
  h[ ] (τ ) = ⎜ 13                                                                                       ⎟ , τ ∈ [ 0,1] ,
                                [ 2]                      [3]                       [ 4]
                           ⎟ , h (τ ) = ⎜            ⎟ , h (τ ) = ⎜            ⎟ , h (τ ) = ⎜
    1

              ⎝ x14 [1,τ ] ⎠            ⎝ x24 [1,τ ] ⎠            ⎝ x34 [1,τ ] ⎠            ⎝ x44 [1,τ ] ⎠
                                                    1
                                          α ij = ∫ h[1] (τ ) , h[i] (τ ) dτ , i, j = 1, 2,3, 4 ⇒
                                                    0


                   ⎛ α11       α12     α13      α14 ⎞ ⎛ 0.766436 0.303602 1.51071 0.779061⎞
                   ⎜
                   ⎜ α 21      α 22    α 23     α 24 ⎟⎟ ⎜⎜ 0.303602 0.557218 0.764328 1.12012 ⎟⎟
                                                       =                                         ,
                   ⎜ α 31      α 32    α 33     α 34 ⎟ ⎜ 1.51071 0.764328 3.3364      1.89574 ⎟
                   ⎜⎜                                 ⎟ ⎜                                      ⎟
                    ⎝ α 41     α 42    α 43     α 44 ⎟⎠ ⎜⎝ 0.779061 1.12012 1.89574    2.6037 ⎟⎠

                                              ⎛ c1 ⎞ ⎛ xT 1 ⎞               ⎛ x10 ⎞ ⎛ 0.640532 ⎞
                                              ⎜ ⎟ ⎜            ⎟            ⎜ ⎟ ⎜                ⎟
                                              ⎜ c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟ − X [1, 0] ⎜ x20 ⎟ = ⎜ 0.491302 ⎟ .
                                             ⎜ c3 ⎟ ⎜ xT 3 ⎟               ⎜ x30 ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟
                                             ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜         ⎟⎟           ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜             ⎟⎟
                                              ⎝ c4 ⎠ ⎝ xT 4 ⎠               ⎝ x40 ⎠ ⎝ 1.31002 ⎠

       Запишем систему линейных алгебраических уравнений (4)
                                                    α11ν 1 + α12ν 2 + α13ν 3 + α14ν 4 = c1 ,
                                                    α 21ν 1 + α 22ν 2 + α 23ν 3 + α 24ν 4 = c2 ,
                                                    α 31ν 1 + α 32ν 2 + α 33ν 3 + α 34ν 4 = c3 ,
                                                    α 41ν 1 + α 42ν 2 + α 43ν 3 + α 44ν 4 = c4 .

Ее решением будут числа
                       ν 10 = −0.982227, ν 20 = −0.833006, ν 30 = 0.790821, ν 40 = 0.579604 .

Тогда оптимальное управление определяется по следующей формуле:
                             U 0 ( t ) = ν 10 h[ ] (τ ) +ν 20 h[                                               , t ∈ [ 0,1] .
                                                                   2]
                                                1
                                                                        (τ ) +ν 30 h[3] (τ ) +ν 40 h[4] (τ )
Вычислим функционал (5) на оптимальном управлении
                                                                                                1
                                                        ⎡    1
                                                                                             ⎤2
                                      I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ = ⎢    ∫   U 0 (τ ) , U 0 (τ )      dτ ⎥ = 0.999712 .
                                                        ⎣    0                               ⎦
         Заметим, что для оптимального управления из примера 2.7 функционал
(6) принимает значение 1.0 > 0.999712 . Такой результат является естествен-



                                                                             133