Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 135 стр.

                      4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                             КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
мальное значение этой функции можно получить, решив следующую задачу
математического программирования:
                                            u , h → max,                        u , u = 1, u , h ∈ R s .                                              (3)

Максимальным значением целевой функции в (3) служит величина                                                                                    h, h . То-

гда норма на пространстве Ω[t 0 , T ] определяется формулой
                                                                        T
                                                         h ( ⋅) = ∫               h (τ ) , h (τ ) dτ .
                                                                        t0


    Второй этап процедуры – построение «минимального» элемента h 0 (⋅) –
сводится к задаче математического программирования следующего вида:
          T     n                       n                                T    n

          ∫    ∑ li h
               i =1
                        [i ]
                               (τ ) , ∑ li h (τ ) dτ = ∫ ∑
                                      i =1
                                              [i ]
                                                         i , j =1
                                                                                          h[ ] (τ ) , h[
                                                                                               i             j]
                                                                                                                  (τ )   li l j dτ → min, l ∈ L ,
          t0                                                             t0


                   ⎛ l10 ⎞
                   ⎜ ⎟
Пусть вектор l 0 = ⎜ ⎟ – решение этой задачи. Тогда «минимальный» элемент и
                   ⎜l 0 ⎟
                   ⎝ n⎠

его норма вычисляются по формулам
                                                    n                                     T
                                   h ( ⋅) = ∑ l h
                                    0
                                                         i
                                                          0   [i ]
                                                                     (⋅) ,и ρ      0
                                                                                       =∫            h 0 (τ ) , h 0 (τ ) dτ
                                                 i =1                                    t0


соответственно.
    Заключительный третий этап построения оптимального управления сво-
дится к следующей задаче на максимум:
                       T
                                                                                                                                  1
                       ∫ u (τ )
                       t0
                                        , h 0 (τ ) dτ → max, vrai max
                                                                                       τ ∈[t0 ,T ]
                                                                                                          u (τ ) , u (τ ) =
                                                                                                                                  ρ0
                                                                                                                                       .

Ее решением является вектор-функция
                                             1                       h 0 (τ )
                               u 0 (τ ) =            ⋅                                        , h0 (τ ) ≠ 0, τ ∈ [t0 , T ] ,                          (4)
                                            ρ   0
                                                              h (τ ) , h (τ )
                                                                0             0




которая и будет оптимальным в смысле функционала (1) управлением. Очевид-
но, что
                                                                                                                         1
                                        I ⎡⎣u 0 ( ⋅) ⎤⎦ = vrai max                     u 0 (τ ) , u 0 (τ ) =                  .
                                                                τ ∈[t0 ,T ]                                              ρ0



                                                                                  135