Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 136 стр.

                             4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                    КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
       Для сравнения заметим, что критерий качества (3.1) («минимум энер-
гии»), вычисленный на программном управлении (4) принимает значение:

 T
       1                    h0 (τ )               1                h 0 (τ )                    1
                                                                                                       T
                                                                                                            h 0 (τ ) , h 0 (τ )          T − t0
 ∫
 t0
      ρ   0
              ⋅
                   h0 (τ ) , h0 (τ )
                                           ,
                                               ρ       0
                                                           ⋅
                                                               h 0 (τ ) , h 0 (τ )
                                                                                        dτ =
                                                                                               ρ   0   ∫
                                                                                                       t0   h (τ ) , h (τ )
                                                                                                             0          0
                                                                                                                                  dτ =
                                                                                                                                          ρ0
                                                                                                                                                  .   (5)


       Пример 5*. Рассмотрим линейный управляемый динамический объект из
примера 4
                                                               x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + u1 ,
                                                               x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + u2 ,
                                                               x3 = 2 x1 − x2 + x3 + u3 ,

                                                                             t0 = 0, T = 1 ;

                  x10 = −3, x20 = 2, x30 = 1; xT 1 = −80.7746, xT 2 = −147,179, xT 3 = −8.94415 .

Поставим задачу управления этим объектом по критерию качества «мини-
мум силы»
                                           I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = max u12 (τ ) + u22 (τ ) + u32 (τ ) → min .                                                  (6)
                                                                 τ ∈[ 0,1]


      Для решения задачи управления последовательно вычисляем
                                    ⎛ x11 [t ,τ ] x12 [t ,τ ] x13 [t ,τ ] ⎞
                                    ⎜                                     ⎟
                        X [t ,τ ] = ⎜ x21 [t ,τ ] x22 [t ,τ ] x23 [t ,τ ] ⎟ , H [t ,τ ] = X [t ,τ ] B = X [t ,τ ] ,
                                    ⎜ x [ t ,τ ] x [ t , τ ] x [ t ,τ ] ⎟
                                    ⎝ 31           32          33         ⎠

                           ⎛ x11 [1,τ ] ⎞            ⎛ x21 [1,τ ] ⎞            ⎛ x31 [1,τ ] ⎞
                           ⎜            ⎟            ⎜            ⎟            ⎜            ⎟
                  h (τ ) = ⎜ x12 [1,τ ] ⎟ , h (τ ) = ⎜ x22 [1,τ ] ⎟ , h (τ ) = ⎜ x32 [1,τ ] ⎟ , τ ∈ [ 0,1] ,
                      [1]                    [ 2]                      [3]

                           ⎜ x [1,τ ] ⎟              ⎜ x [1,τ ] ⎟              ⎜ x [1,τ ] ⎟
                           ⎝ 13         ⎠            ⎝ 23         ⎠            ⎝ 33         ⎠

                                            ⎛ c1 ⎞ ⎛ xT 1 ⎞              ⎛ x10 ⎞ ⎛ −67.4743 ⎞
                                            ⎜ ⎟ ⎜           ⎟            ⎜ ⎟ ⎜                ⎟
                                            ⎜ c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟ − X [1, 0] ⎜ x20 ⎟ = ⎜ −115.885 ⎟ .
                                            ⎜c ⎟ ⎜ x ⎟                   ⎜ x ⎟ ⎜ −5.34546 ⎟
                                            ⎝ 3 ⎠ ⎝ T3 ⎠                 ⎝ 30 ⎠ ⎝             ⎠

       Запишем задачу математического программирования по определению
минимального элемента h0 ( ⋅) ∈ Ω [ 0,1] . Имеем
                  1
                            l1h[ ] (τ ) + l2 h[
                                                  2]
                  ∫
                                1
                                                       (τ ) + l3h[3] (τ ) , l1h[1] (τ ) + l2 h[2] (τ ) + l3h[3] (τ ) dτ → min ,
                  0


                                                                                           l2 c2 + l3c3
                                                  l1c1 + l2 c2 + l3c3 = 1 ⇔ l1 =                        .                                              (7)
                                                                                                 c1


                                                                                  136