Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 138 стр.

                         4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                                КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
результат «хуже», чем величина 1.34153 , которая была получена на оптималь-
ном в смысле критерия «минимум энергии» управлении в примере 3.
       Для проверки проведенных вычислений, покажем, что полученное управле-
ние U 0 ( ⋅) переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время

[0,1] . Действительно, проинтегрируем систему дифференциальных уравнений
                                                   x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + U10 ( t ) ,
                                                   x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + U 20 ( t ) ,
                                                   x3 = 2 x1 − x2 + x3 + U 30 ( t )

с начальными условиями x10 = −3, x20 = 2, x30 = 1 . В результате получим

                                                          ⎛ 0.0000773993 ⎞
                                                          ⎜              ⎟
                                             x (1) − xT = ⎜ 0.000215504 ⎟ ≈ 0 .
                                               0

                                                          ⎜ 0.0000639765 ⎟
                                                          ⎝              ⎠


         Пример 6*. Дифференциальные уравнения движения динамического объ-
екта имеют вид
                                                                 x1 = x3 ,
                                                                 x2 = x4 ,

                                                    x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + u1 ,
                                                             1
                                                    x2 =        x3 + ( sin t ) x4 + u2 ,
                                                           t +1
                                                              t0 = 0, T = 1 ,

         x10 = x20 = x30 = x40 = 0, xT 1 = 0.640532, xT 2 = 0.491302, xT 3 = 1.61672, xT 4 = 1.31002 .

Поставим задачу управления этим объектом по критерию качества «мини-
мум силы»
                                I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = max u12 (τ ) + u22 (τ ) + u32 (τ ) + u42 (τ ) → min .                               (8)
                                              τ ∈[ 0,1]


       Для решения задачи управления последовательно вычисляем
            ⎛ x11 [t ,τ ]    x12 [t ,τ ] x13 [t ,τ ] x14 [t ,τ ] ⎞                            ⎛0     0 ⎞ ⎛ x13 [t ,τ ]     x14 [t ,τ ] ⎞
            ⎜                                                    ⎟                            ⎜         ⎟ ⎜                             ⎟
               x [ t ,τ ]    x22 [t ,τ ] x23 [t ,τ ] x24 [t ,τ ] ⎟                               0   0 ⎟ ⎜ x23 [t ,τ ]     x24 [t ,τ ] ⎟
X [t ,τ ] = ⎜ 21                                                    , H [ t ,τ ] = X [ t ,τ ] ⎜          =
            ⎜ x31 [t ,τ ]    x32 [t ,τ ] x33 [t ,τ ] x34 [t ,τ ] ⎟                            ⎜1     0 ⎟ ⎜ x33 [t ,τ ]     x34 [t ,τ ] ⎟
            ⎜⎜                                                   ⎟⎟                           ⎜⎜        ⎟ ⎜                            ⎟
             ⎝ x41 [t ,τ ]   x42 [t ,τ ] x43 [t ,τ ] x44 [t ,τ ] ⎠                             ⎝0    1 ⎟⎠ ⎝⎜ x43 [t ,τ ]   x44 [t ,τ ] ⎟⎠



                                                                    138