Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 139 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
139
[]
()
[
]
[]
[]
()
[
]
[]
[]
()
[
]
[]
[]
()
[
]
[]
[]
12 34
13 23 33 43
14 24 34 44
1, 1, 1, 1,
,,,,0,1
1, 1, 1, 1,
xxxx
hh hh
xxxx
ττττ
τττττ
ττττ
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
====∈
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
,
[]
1011
2022
3033
40
44
0.640532
0.491302
1, 0
1.61672
1.31002
T
T
T
T
xcx
xcx
X
xcx
x
cx
⎛⎞
⎛⎞⎛ ⎞
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
=− =
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝ ⎠
⎝⎠
.
Запишем задачу математического программирования по определению мини-
мального элемента
()
[
]
0
0,1h ⋅∈Ω . Имеем
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
1
1231234
12 312 3 4
0
,minlh lh lh lh lh lh lh d
ττττττττ
++ +++ →
∫
,
22 33 44
11 2 2 3 3 4 4 1
1
1
lc lc lc
lc lc lc lc l
c
+
+
+++=⇔=
. (9)
Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум:
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
1
44
11
22 33 44 22 33 44
22
11
0
,min
ii
ii
ii
lc lc lc lc lc lc
hlh hlhd
cc
ττ τττ
==
++ ++
++→
∑∑
∫
по переменным
23
,ll и
4
l . Ее решением будут числа
00 0
23 4
0.76217, 0.00721295, 0.947403ll l== =.
Из равенства (9) находим
0
1
0.947403l = .
Тогда
()
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
1234
00 0 0 0
1234
1, 1, 1, 1, , 0,1h t lh lh lh lh t
ττττ
=+++ ∈,
() ()
1
00
0
0
, 0.999996hhd
ρτττ
==
∫
Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом
()
0
0
1
1.00000IU
ρ
⎡⎤
⋅= =
⎣⎦
На рис. 2 приведен график изменения величины
() ()
[]
22
12
,0,1uu
τττ
+∈ для
оптимального управления из примера 4 
                        4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                               КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
              ⎛ x [1,τ ] ⎞              ⎛ x23 [1,τ ] ⎞            ⎛ x33 [1,τ ] ⎞            ⎛ x43 [1,τ ] ⎞
  h[ ] (τ ) = ⎜ 13         ⎟ , h (τ ) = ⎜                                                                ⎟ , τ ∈ [ 0,1] ,
                                [ 2]
                                                     ⎟ , h (τ ) = ⎜
                                                          [3]
                                                                               ⎟ , h (τ ) = ⎜
    1                                                                               [ 4]

              ⎝ x14 [1,τ ] ⎠            ⎝ x24 [1,τ ] ⎠            ⎝ x34 [1,τ ] ⎠            ⎝ x44 [1,τ ] ⎠

                                              ⎛ c1 ⎞ ⎛ xT 1 ⎞               ⎛ x10 ⎞ ⎛ 0.640532 ⎞
                                              ⎜ ⎟ ⎜            ⎟            ⎜ ⎟ ⎜               ⎟
                                              ⎜ c2 ⎟ = ⎜ xT 2 ⎟ − X [1, 0] ⎜ x20 ⎟ = ⎜ 0.491302 ⎟ .
                                             ⎜ c3 ⎟ ⎜ xT 3 ⎟               ⎜ x30 ⎟ ⎜ 1.61672 ⎟
                                             ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜         ⎟⎟           ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜             ⎟⎟
                                              ⎝ c4 ⎠ ⎝ xT 4 ⎠               ⎝ x40 ⎠ ⎝ 1.31002 ⎠

Запишем задачу математического программирования по определению мини-
мального элемента h0 ( ⋅) ∈ Ω [ 0,1] . Имеем
           1
                l1h[ ] (τ ) + l2 h[
                                      2]
           ∫
                    1
                                           (τ ) + l3h[3] (τ ) , l1h[1] (τ ) + l2 h[2] (τ ) + l3h[3] (τ ) + l4 h[4] (τ ) dτ → min ,
           0


                                                                                          l2 c2 + l3c3 + l4 c4
                                             l1c1 + l2 c2 + l3c3 + l4 c4 = 1 ⇔ l1 =                            .                       (9)
                                                                                                   c1

        Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум:
       1
               l2 c2 + l3c3 + l4 c4 [1]       4
                                                         l2 c2 + l3c3 + l4 c4 [1]       4

       ∫                           h (τ ) + ∑ li h (τ ),
                                                  [i ]
                                                                             h (τ ) + ∑ li h[ ] (τ ) dτ → min
                                                                                             i

       0
                        c1                  i =2                  c1                  i =2


по переменным l2 , l3 и l4 . Ее решением будут числа
                                           l20 = 0.76217, l30 = 0.00721295, l40 = 0.947403 .

Из равенства (9) находим
                                                                   l10 = 0.947403 .

Тогда
                        h0 ( t ) = l10 h[ ] [1,τ ] + l20 h[ ] [1,τ ] + l30 h[ ] [1,τ ] + l40 h[ ] [1,τ ] , t ∈ [ 0,1] ,
                                             1                 2                    3           4



                                                       1
                                                 ρ0 = ∫        h0 (τ ) , h0 (τ ) dτ = 0.999996
                                                       0


Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом
                                                                               1
                                                           I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ =        = 1.00000
                                                                               ρ0

        На рис. 2 приведен график изменения величины                                                    u12 (τ ) + u22 (τ ) , τ ∈ [ 0,1] для

оптимального управления из примера 4




                                                                           139

Страницы