Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 137 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
137
Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
[]
()
1
123 123
22 33 22 33
23 23
11
0
,min
lc lc lc lc
hlhlh hlhlhd
cc
τττ ττττ
++
++ ++ →
∫
по переменным
2
l и
3
l . Ее решением будут числа
00
23
0.038468, 0.28735.ll=− =
Из равенства (6) находим
0
1
0.103653l =− .
Тогда
()
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
[
]
123
00 0 0
123
1, 1, 1, , 0,1h t lh lh lh t
τττ
=++ ∈,
() ()
1
00
0
0
, 0.731198hhd
ρτττ
==
∫
.
Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом
()
0
0
1
1.36762IU
ρ
⎡⎤
⋅= =
⎣⎦
.
На рис. 1 приведен график изменения величины
() () ()
[]
222
123
,0,1uuu
ττττ
++ ∈ для оптимального управления из примера 3
0.2 0.4 0.6 0.8 1
0.9
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
Рис. 1
Из него видно, что функционал (6) для этого управления принимает значение
()
0
1.53213 1.36762 IU
⎡
⎤
>=⋅
⎣
⎦
. Такой результат является естественным, поскольку
оптимальное управление в примере 3 определялось для критерия «минимум
энергии», а не «минимум силы». Обратно, из формулы (5) следует, что крите-
рий «минимум энергии» на управлении
(
)
0
U
⋅
принимает значение
1.36762
. Этот 
                    4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                           КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
        Эта задача эквивалентна следующей задаче на безусловный минимум
    1
         l2 c2 + l3c3 [1]                                  l c +l c 1
    ∫                h (τ ) + l2 h[ ] (τ ) + l3 h[ ] (τ ) , 2 2 3 3 h[ ] (τ ) + l2 h[ ] (τ ) + l3 h[ ] (τ ) dτ → min
                                   2              3                                  2              3

    0
               c1                                              c1

по переменным l2 и l3 . Ее решением будут числа
                                           l20 = −0.038468, l30 = 0.28735.

Из равенства (6) находим
                                                          l10 = −0.103653 .

Тогда
                           h0 ( t ) = l10 h[ ] [1,τ ] + l20 h[ ] [1,τ ] + l30 h[ ] [1,τ ] , t ∈ [ 0,1] ,
                                           1                     2                   3



                                               1
                                      ρ0 = ∫           h0 (τ ) , h0 (τ ) dτ = 0.731198 .
                                               0


Оптимальное управление определяется по формуле (4). При этом
                                                                        1
                                                   I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ =         = 1.36762 .
                                                                       ρ0

        На        рис.            1            приведен                       график             изменения   величины
 u12 (τ ) + u22 (τ ) + u32 (τ ) , τ ∈ [ 0,1] для оптимального управления из примера 3

                        1.5

                        1.4

                        1.3

                        1.2

                        1.1


                                         0.2                 0.4               0.6         0.8         1
                        0.9


                                                                Рис. 1
Из него видно, что функционал (6) для этого управления принимает значение
1.53213 > 1.36762 = I ⎡⎣U 0 ( ⋅) ⎤⎦ . Такой результат является естественным, поскольку

оптимальное управление в примере 3 определялось для критерия «минимум
энергии», а не «минимум силы». Обратно, из формулы (5) следует, что крите-
рий «минимум энергии» на управлении U 0 ( ⋅) принимает значение 1.36762 . Этот

                                                                       137

Страницы