Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 134 стр.

               4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                      КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
ным, поскольку оптимальное управление в примере 2.7 определялось из условия
минимума другого критерия, а не функционала (6).
    Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление
U 0 ( ⋅) переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время

[0,1] . Действительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений
                                                     x1 = x3 ,
                                                     x2 = x4 ,

                                   x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + U10 ( t ) ,
                                              1
                                   x2 =          x3 + ( sin t ) x4 + U 20 ( t ) ,
                                            t +1
с начальными условиями x10 = x20 = x30 = x40 = 0 . В результате получим
                                                ⎛ −1.68561 ⎞
                                                ⎜           ⎟
                                                   −1.97809 ⎟
                                 x 0 (1) − xT = ⎜              × 10−6 ≈ 0 .
                                                ⎜ −1.6007 ⎟
                                                ⎜⎜          ⎟⎟
                                                 ⎝ −2.40392 ⎠
      4.4. Управление по критерию «минимум силы». Конкретизируем про-
цедуру построения оптимального управления, описанную выше, для случая, ко-
гда минимизируемый функционал имеет вид
                       I ⎡⎣u ( ⋅) ⎤⎦ = vrai max u (τ ) = vrai max              u (τ ) , u (τ ) .       (1)
                                    τ ∈[t0 ,T ]                  τ ∈[t0 ,T ]


    В случае, когда вектор управляющих параметров представляет собой силу
(обобщенную силу), функционал (1) оценивает наибольшее значение по моду-
лю этой силы. Отсюда следует вынесенное в заголовок параграфа название рас-
сматриваемого функционала. Нетрудно видеть, что функционал (1) удовлетво-
ряет условиям 1)-3) пункта 4.2.
    Для реализации первого этапа процедуры построения оптимального управ-
ления необходимо решить следующую задачу:
                  T

                  ∫ u (τ )
                  t0
                              , h (τ ) dτ → max,              vray max
                                                                 τ ∈[t0 ,T ]
                                                                               u (τ ) , u (τ ) = 1 .   (2)

      Максимум интеграла в (2) достигается, когда подынтегральная функция
принимает максимальное значение почти всюду на промежутке [t0 , T ] . Макси-


                                                        134