Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 132 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
132
Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление
переводит фазовый вектор из положения
0
x
в положение
T
x
за время
[
]
0,1
. Дей-
ствительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений
(
)
()
()
0
112 31
0
21232
0
31233
2230 ,
10 35 ,
2
x
xx xUt
x
xx xUt
xxxxUt
=+− +
=−−+
=−++
с начальными условиями
10 20 30
3, 2, 1xxx=− = = . В результате получим
()
0
0.000303
1 0.000484 0
0.000011
T
xx
⎛⎞
⎜⎟
−
=≈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
.
Пример 4*. Дифференциальные уравнения движения динамического объ-
екта имеют вид
13
24
,
,
x
x
x
x
=
(
)
()
3341
23 42
cos ,
1
sin ,
1
xtxtxu
x
xtxu
t
=++
=+ +
+
0
0, 1tT
=
= ,
10 20 30 40 1 2 3 4
0, 0.640532, 0.491302, 1.61672, 1.31002
TT TT
xxxx x x x x==== = = = = ,
() () ()
()
1
1
2
22
12
0
minIU u u
ττ
⎡⎤
⋅= + →
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
⎣⎦
∫
. (6)
В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения ди-
намического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из при-
мера 2.7. Конечное же положение фазового вектора совпадает с той точкой
фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени
фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.
Последовательно вычисляем 
                 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                        КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
     Проверим проведенные вычисления. Покажем, что полученное управление
переводит фазовый вектор из положения x0 в положение xT за время [ 0,1] . Дей-

ствительно проинтегрируем систему дифференциальных уравнений
                                    x1 = 2 x1 + 2 x2 − 30 x3 + U10 ( t ) ,
                                    x2 = 10 x1 − x2 − 35 x3 + U 20 ( t ) ,
                                    x3 = 2 x1 − x2 + x3 + U 30 ( t )

с начальными условиями x10 = −3, x20 = 2, x30 = 1 . В результате получим

                                                 ⎛ 0.000303 ⎞
                                                 ⎜          ⎟
                                    x (1) − xT = ⎜ 0.000484 ⎟ ≈ 0 .
                                      0

                                                 ⎜ 0.000011 ⎟
                                                 ⎝          ⎠

      Пример 4*. Дифференциальные уравнения движения динамического объ-
екта имеют вид
                                                  x1 = x3 ,
                                                  x2 = x4 ,

                                     x3 = ( cos t ) x3 + tx4 + u1 ,
                                              1
                                     x2 =        x3 + ( sin t ) x4 + u2 ,
                                            t +1
                                               t0 = 0, T = 1 ,

     x10 = x20 = x30 = x40 = 0, xT 1 = 0.640532, xT 2 = 0.491302, xT 3 = 1.61672, xT 4 = 1.31002 ,
                                                                        1
                                                ⎡1                          ⎤2
                                I ⎡⎣U ( ⋅) ⎤⎦ = ⎢ ∫ ( u12 (τ ) + u22 (τ ) ) ⎥ → min .                (6)
                                                ⎣0                          ⎦
     В рассматриваемом примере дифференциальные уравнения движения ди-
намического объекта и начальное положение фазового вектора взяты из при-
мера 2.7. Конечное же положение фазового вектора совпадает с той точкой
фазового пространства, в которую переводит в конечный момент времени
фазовый вектор оптимальное управление из примера 2.
     Последовательно вычисляем




                                                     132

Страницы