Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 120 стр.

                 4. ЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА ТЕОРИИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
                        КАК ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ ПРОБЛЕМА МОМЕНТОВ
     Лемма 2. Существует элемент h 0 ∈ Q , удовлетворяющий условию
                                                       h 0 = min h .                                                         (7)
                                                                   h∈Q


     Доказательство. Сначала предположим, что элементы h [i ] , i = 1, , n ли-
                                                                                                               n
нейного пространства H независимы, т. е., что для них равенство                                               ∑α h [ ] = 0
                                                                                                              i =1
                                                                                                                     i
                                                                                                                         i




возможно лишь при нулевом наборе констант α i ∈ R1 , i = 1, , n .
     В линейном пространстве H рассмотрим последовательность элементов
                                                n                         n
                            {hs }, hs = ∑ lis h [i ] ∈ H , ∑ ci lis              = 1, s = 1,2,    ,                          (8)
                                               i =1                      i =1


для которой lim
            s →∞
                 hs = inf h . Заметим, что справедливо неравенство
                      h∈Q


                                                      0 ≤ inf h < +∞ .                                                       (9)
                                                           h∈Q


     Для каждого номера s = 1,2,                      обозначим
                                               lsmax = max               lis .
                                                         i∈{1, , n}


Достаточно показать, что последовательность {l smax } ограничена. Допустим

противное. Полагаем
                                         lis
                               lis∗ =               , i = 1,       , n , s = 1,2,
                                        lsmax

Очевидно, что lis∗ ≤ 1, i = 1, , n, и для всех номеров s = 1,2,                                  среди чисел l1∗s , , l ns∗

                                                                         ⎛ l1∗s ⎞
                                                                         ⎜ ⎟
хотя бы одно является единицей. Тогда последовательность векторов l s∗ = ⎜ ⎟
                                                                         ⎜l∗ ⎟
                                                                         ⎝ ns ⎠

                              ⎛ l10∗ ⎞
                              ⎜ ⎟
имеет предельную точку l 0∗ = ⎜ ⎟ ≠ 0 . В силу линейной независимости элемен-
                              ⎜l∗ ⎟
                              ⎝ n0 ⎠
                                                               n
тов h [i ] ∈ H , i = 1, , n , будет выполнено              ∑l
                                                            i =1
                                                                   ∗
                                                                   i0   h[ ] ≠ 0 . Каждый член последователь-
                                                                         i




ности (8) можно представить в виде
                                            ⎛ n              ⎞
                                hs = l smax ⎜ ∑ l is∗ h [i ] ⎟ , s = 1,2,           .
                                            ⎝ i =1           ⎠


                                                          120