Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
39
Из нее следует, что последовательность функций
(
)
s
ϕ
⋅
, определенных форму-
лой
()
(
)
(
)
[
]
0
,,,1,2,
ss
txtxtttTs
ϕ
=− ∈ =
равномерно сходится к нулю на отрезке времени
[
]
0
,tT
.
Таким образом, любое движение динамического объекта можно рассмат-
ривать как равномерный предел движений объекта, порожденных соответст-
вующими допустимыми реализациями вектора управляющих воздействий. При
этом оно принадлежит классу абсолютно непрерывных на промежутке
[
]
0
,tT
функций и удовлетворяет на нем дифференциальному уравнению
() () () ()
x
At x BtU t Ct=+ +
почти всюду.
1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптималь-
ного управления. Пусть заданы дифференциальные уравнения (1.2) движения ди-
намического объекта, критерий качества (6.1), множество начальных и конечных
моментов времени
1
0
R
θ
⊂
,
1
1
,
R
θ
⊂
01
inf sup,
θ
≤
, область изменения вектора
управляющих параметров
r
PR⊂ , ограничения на левый конец
()
00 0 0
,
n
St R t
θ
⊂∈ и
правый конец
11
(),ST T
θ
∈ фазовой траектории динамического объекта, и допус-
тимая программная стратегия
(
)
U
⋅
.
Определение 10. Набор
(
)
00
,, , (),()tTxU x
⋅
⋅ назовем допустимым, если
00
t
θ
∈ ,
(
)
10 00
,,(),,,()TtTxxtxU
θ
∈<⋅=⋅ ⋅,
(
)
,
000
tSx
∈
)()(
1
TSTx ∈ .
На множестве допустимых наборов посредством формулы (6.1) определим
функционал
()
[
]
00 00
: ,,,(),() ,,,(),()
I
tTxU x ItTxU x⋅⋅→ ⋅⋅ и поставим следующую зада-
чу.
Задача 1. Определить допустимый набор
(
)
000 0 0
00
,,, (),()tT xU x
⋅
⋅ такой, что для
любого другого допустимого набора
(
)
00
,, , (),()tTxU x
⋅
⋅ выполнялось бы неравенство
[
]
000 0 0
00 00
, , , ( ), ( ) , , , ( ), ( )
I
tT xU x ItTxU x
⎡⎤
⋅
⋅≤ ⋅ ⋅
⎣⎦
. 
                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Из нее следует, что последовательность функций ϕ s ( ⋅) , определенных форму-

лой
                                  ϕ s ( t ) = x ( t ) − xs ( t ) , t ∈ [t0 , T ] , s = 1, 2,

равномерно сходится к нулю на отрезке времени [t0 , T ] .

       Таким образом, любое движение динамического объекта можно рассмат-
ривать как равномерный предел движений объекта, порожденных соответст-
вующими допустимыми реализациями вектора управляющих воздействий. При
этом оно принадлежит классу абсолютно непрерывных на промежутке [t0 , T ]

функций и удовлетворяет на нем дифференциальному уравнению
                                            x = A (t ) x + B (t )U (t ) + C (t )

почти всюду.
       1.8. Постановка и существование решения задачи теории оптималь-
ного управления. Пусть заданы дифференциальные уравнения (1.2) движения ди-
намического объекта, критерий качества (6.1), множество начальных и конечных
моментов времени θ 0 ⊂ R1 , θ1 ⊂ R1 , inf θ 0 ≤ sup, θ1 , область изменения вектора
управляющих параметров P ⊂ R r , ограничения на левый конец S0 ( t0 ) ⊂ R n , t0 ∈ θ 0 и

правый конец S1 (T ), T ∈ θ1 фазовой траектории динамического объекта, и допус-
тимая программная стратегия U ( ⋅) .

      Определение 10. Набор ( t0 , T , x0 ,U (⋅), x(⋅) ) назовем допустимым, если

              t0 ∈ θ 0 , T ∈ θ1 , t0 < T , x(⋅) = x ( ⋅, t0 , x0 , U (⋅) ) , x 0 ∈ S 0 (t 0 ), x (T ) ∈ S1 (T ) .

      На множестве допустимых наборов посредством формулы (6.1) определим
функционал I : ( t0 , T , x0 ,U (⋅), x(⋅) ) → I [t0 , T , x0 ,U (⋅), x(⋅)] и поставим следующую зада-

чу.
      Задача 1. Определить допустимый набор ( t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅), x 0 (⋅) ) такой, что для

любого другого допустимого набора ( t0 , T , x0 ,U (⋅), x(⋅) ) выполнялось бы неравенство

                               I ⎡⎣t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅), x 0 (⋅) ⎤⎦ ≤ I [t0 , T , x0 , U (⋅), x(⋅) ] .




                                                                  39

Страницы