Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
40
Допустимый набор
()
000 0 0
00
,,, (),()tT xU x
⋅
⋅ назовем решением задачи оптимального
управления,
()
0
U ⋅ – оптимальной программной стратегией,
()
⋅
0
x – оптимальной тра-
екторией. В задаче 1 требуется минимизировать функционал
I
. Случай макси-
мизации функционала сводится к эквивалентной задаче минимизации функ-
ционала
I
− .
Сформулированная задача 1 оптимального управления динамическим
объектом не всегда имеет решение. Покажем это на примере.
Пример 10. Рассмотрим управляемый динамический объект
[]
{} ( ) {} ( )
1
01 0 1 1
1
,,1,1,0,0,,0, 0,xuxRu S ST x x T
T
θ
θθ
⎧
⎫
=∈ ∈− = =+∞ = = −=∈
⎨
⎬
⎩⎭
,
(
)
[
]
)(, TxuTI
=
⋅
.
Очевидно, что
()
1
,0ITU
T
⋅= >⎡⎤
⎣⎦
. Для каждого 0
ˆ
>T положим
()
0
ˆ
ˆ
0, , ,
ˆ
1.
T
ttT
ut
tT
⎧
⎡⎤
∈
⎪
⎣⎦
=
⎨
⎪
>
⎩
Траектория движения, отве-
чающая программному управле-
нию
(
)
ˆ
T
u
, изображена на рис. 7.
Момент времени
T
окончания
процесса в данном случае удов-
летворяет неравенству
T
T
ˆ
> , и
поэтому
T
T
ˆ
11
<
. Выбирая вели-
чину
T
ˆ
достаточно большой, значение функционала
ˆ
1
ˆ
,()
ˆ
T
ITu
T
⎡⎤
⋅=
⎣⎦
можно сде-
лать сколь угодно малым. Однако программной стратегии
()
U ⋅ , для которой
()
,0ITU⋅=⎡⎤
⎣⎦
, не существует в классе
[
]
[
]
0
,, 1,
r
p
LtT p∈∞. Отсюда заключаем, что
рассматриваемая задача оптимального управления решения не имеет.
Для задачи теории оптимального управления
(
)
(
)
(
)
x
At x Btu Ct=++
,
Рис. 7
t
x
T
T 
                      1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

     Допустимый набор ( t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅), x 0 (⋅) ) назовем решением задачи оптимального

управления, U 0 ( ⋅) – оптимальной программной стратегией, x 0 (⋅) – оптимальной тра-

екторией. В задаче 1 требуется минимизировать функционал I . Случай макси-
мизации функционала сводится к эквивалентной задаче минимизации функ-
ционала − I .
     Сформулированная задача 1 оптимального управления динамическим
объектом не всегда имеет решение. Покажем это на примере.
     Пример 10. Рассмотрим управляемый динамический объект
                                                                                  ⎧                 1             ⎫
  x = u, x ∈ R1 , u ∈ [ −1,1] , θ 0 = {0} , θ1 = ( 0, +∞ ) , S0 = {0} , S1 (T ) = ⎨ x          x−     = 0, T ∈ θ1 ⎬ ,
                                                                                  ⎩                 T             ⎭

                                              I [T , u (⋅)] = x (T ) .

                                1
Очевидно, что I ⎡⎣T ,U ( ⋅) ⎤⎦ = > 0 . Для каждого Tˆ > 0 положим
                                T

                                                                                            ⎧⎪0, t ∈ ⎡t0 , Tˆ ⎤ ,
                                                                                uTˆ ( t ) = ⎨        ⎣        ⎦
                                                                                             ⎩⎪ 1    t > Tˆ.
    x                                                                    Траектория          движения,              отве-
                                                                         чающая программному управле-
                                                                         нию uTˆ ( ⋅) , изображена на рис. 7.

                                                                         Момент времени T окончания
                                                               t         процесса в данном случае удов-
                    T     T                                              летворяет неравенству T > Tˆ , и
                              Рис. 7                                                  1 1
                                                                         поэтому       < . Выбирая вели-
                                                                                      T Tˆ
                                                                                                    1
чину T̂ достаточно большой, значение функционала I ⎡⎣Tˆ , uTˆ (⋅) ⎤⎦ = ˆ можно сде-
                                                                      T

лать сколь угодно малым. Однако программной стратегии U ( ⋅) , для которой

I ⎡⎣T ,U ( ⋅) ⎤⎦ = 0 , не существует в классе Lrp [ t0 , T ], p ∈ [1, ∞] . Отсюда заключаем, что

рассматриваемая задача оптимального управления решения не имеет.
     Для задачи теории оптимального управления
                                        x = A(t ) x + B (t ) u + C (t ) ,

                                                        40

Страницы