Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 42 стр.

                                 1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

Покажем, что включение (1) справедливо для всякой ступенчатой функции
R : [t 0 , T ] → K . Напомним, что функция называется ступенчатой, если она при-

нимает конечное число значений R (1) , , R (k ) ∈ K . Обозначим
                                                               {
                                                T j = τ ∈ [t 0 , t ] R(τ ) = R ( j ) , j = 1,                          }                    ,k .

Тогда
                                                                       t

                                                                                                                ∑ R ( ) µ (T ) .
                                                                                                                 k
                                                         1                                           1
                                                                   ∫ R(τ ) dτ =                                                                                         (3)
                                                                                                                               j
                                                                                                                                        j
                                                       t − t0      t0
                                                                                                   t − t0       j =1


Здесь µ (T j ) – мера множества T j , j = 1, , k . Заметим, что

                                                                                               ∑ µ (T ) = 1 .
                                                                                               k
                                                                                      1
                                                                                                            j
                                                                                    t − t0     j =1


Выражение (3) представляет собой выпуклую комбинацию векторов R ( j ) ∈ K ,
j = 1,       , k . Отсюда следует справедливость включения (1) для случая, когда

функция R ступенчатая. Доказательство общего случая использует предель-
ный переход в (2) и условие компактности множества K .
         Доказательство теоремы. B силу компактности множества Ξ функцио-
нал I ограничен на множестве допустимых наборов G . Из условия G ≠ ∅ сле-
дует существование для функционала I минимизирующей последовательности

{(t , T , x ,U (⋅), x (⋅))} ,
   s
   0
         s   s
             0
                     s       s
                                                       (t ,T
                                                           s
                                                           0
                                                                   s
                                                                       , x0s , U s (⋅), x s ( ⋅) ) ∈ G                                  , s = 1, 2,   ,    т.е.       такой

последовательности, что
                 lim I ⎡⎣t0s , T s , x0s , U s (⋅), x s ( ⋅) ⎤⎦ =                                inf             I ⎡t , T , x0 , U (⋅), x ( ⋅) ⎤⎦ = I ∗ , I ∗ < ∞ .
                 s →∞                                                               ( t0 ,T , x0 ,U (⋅), x(⋅) )∈G ⎣ 0

         В силу 2) из последовательности                                                           {(t , T , x , x (T ))} , s = 1, 2,
                                                                                                      s
                                                                                                      0
                                                                                                                s          s
                                                                                                                           0
                                                                                                                                   s    s
                                                                                                                                                          можно извлечь

сходящуюся. Не теряя общности, считаем, что

                                             {(t , T , x , x (T ))} → (t , T , x , x ) ∈ Ξ .
                                                       s
                                                       0
                                                               s           s
                                                                           0
                                                                                    s      s                0
                                                                                                            0
                                                                                                                           0       0
                                                                                                                                   0
                                                                                                                                       T0




         Рассмотрим последовательность движений

                                          {x( ) (⋅)} ,
                                               s
                                                                       x(
                                                                               s)
                                                                                    ( ⋅) = x (⋅, t0s , x0s ,U s ( ⋅) ) ,               s = 1, 2,

         Для всех номеров s = 1, 2,                                            справедливо равенство
                                                   t                                                                   t

             x (t ) = X ⎡⎣⎢t , t0s ⎤⎦⎥ x0s + ∫ X [t , τ ]B (τ )U s (τ ) d τ + ∫ X [t , τ ]C (τ ) d τ , t ∈ ⎡⎣t0s , T s ⎤⎦ .
              (s)
                                                                                                                                                                        (4)
                                                t0                                                                   t0


                                                                                                   42