Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГНИУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ
44
()
(
)
() ()
(
)
(
)
(
)
(
)
[
]
0
,, ,
s
s
Ax BU C Kxt tth
τττττ ετ
++∈ ∈+,
где
()
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
,0,Kx t Atx t BtP Ct O
ε
ε
=+++
.
Множество
(
)
()
0
,Kx t
ε
является выпуклым компактом. Тогда по лемме 2 сле-
дует, что
() () () () () ()
()
0
1
,
th
ss
t
Ax BU C dKxt
h
τ
τττττ ε
+
⎡⎤
++∈
⎣⎦
∫
.
Отсюда и из равенства (7) выводим
(
)
()
(
)
(
)
() () () () ()
0
0,
ss
xthxt
At x t Bt P Ct O
h
+−
∈+++
.
Переходя в нем к пределу при
s →∞, получим
()
(
)
() () () () ()
00
0
0,
xth xt
At x t Bt P Ct O
h
ε
+−
∈+++
. (8)
Из существования производной функции
(
)
0
x
⋅
в точке t вытекает воз-
можность предельного перехода в левой части равенства (8) при
0→h
. В ре-
зультате такого перехода получим
()
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
00
0,xt Atxt BtPCt O
ε
∈+++
.
Отсюда в силу произвольности
0
ε
> выводим
()
(
)
(
)
(
)
(
)
00
x
tAtxtBtPCt∈++.
Итак, установлено, что для каждого момента времени
00
0
,ttT
⎡⎤
∈
⎣⎦
, в ко-
торый существует производная функции
(
)
0
x
⋅
, найдется вектор
()
Ptu ∈
0
, удов-
летворяющий равенству (6). По лемме об измеримом выборе [31] функция
(
)
0
u
⋅
может быть выбрана интегрируемой по Лебегу. Допустимую программную
стратегию
()
0
U ⋅ отождествим с функцией
(
)
0
u
⋅
.
Очевидно, что набор
()
000 0 0
00
,,, (),()tT xU x
⋅
⋅ является допустимым, и при этом
()
(
)
(
)
()
(
)
0 000 0
00 00 00
lim , , , ( ), lim , , , ) , , ,
sss s s ssss s
ss
IItTxUx tTxxT tTxxT
∗
→∞ →∞
⎡⎤
=⋅⋅=Φ =Φ =
⎣⎦
(
)
000 0
00
,,, ()It T x U
=
⋅ .
Теорема доказана. 
                          1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

                        A (τ ) x (
                                        s)
                                             (τ ) + B (τ )U s (τ ) + C (τ ) ∈ K ( x0 ( t ) , ε ) , τ ∈ [t , t + h] ,
где
                                     K ( x 0 ( t ) , ε ) = A ( t ) x 0 ( t ) + B ( t ) P + C ( t ) + O ( 0, ε ) .

Множество K ( x 0 ( t ) , ε ) является выпуклым компактом. Тогда по лемме 2 сле-

дует, что
                                t +h
                           1
                                 ∫ ⎡⎣ A (τ ) x (τ ) + B (τ )U (τ ) + C (τ )⎤⎦ dτ ∈ K ( x ( t ) , ε ) .
                                                     s                       s                              0

                           h     t


Отсюда и из равенства (7) выводим
                           x(
                                s)
                                     ( t + h ) − x( s ) ( t ) ∈ A
                                                                     ( t ) x 0 ( t ) + B ( t ) P + C ( t ) + O ( 0, ε ) .
                                               h
      Переходя в нем к пределу при s → ∞ , получим
                                x0 ( t + h ) − x0 ( t )
                                                        ∈ A ( t ) x 0 ( t ) + B ( t ) P + C ( t ) + O ( 0, ε ) .                      (8)
                                          h
      Из существования производной функции x 0 ( ⋅) в точке t вытекает воз-

можность предельного перехода в левой части равенства (8) при h → 0 . В ре-
зультате такого перехода получим
                                             x 0 ( t ) ∈ A ( t ) x 0 ( t ) + B ( t ) P + C ( t ) + O ( 0, ε ) .

      Отсюда в силу произвольности ε > 0 выводим
                                                    x0 ( t ) ∈ A ( t ) x0 ( t ) + B ( t ) P + C ( t ) .

      Итак, установлено, что для каждого момента времени t ∈ ⎡⎣t00 , T 0 ⎤⎦ , в ко-

торый существует производная функции x 0 ( ⋅) , найдется вектор u 0 (t ) ∈ P , удов-

летворяющий равенству (6). По лемме об измеримом выборе [31] функция u 0 ( ⋅)

может быть выбрана интегрируемой по Лебегу. Допустимую программную
стратегию U 0 ( ⋅) отождествим с функцией u 0 ( ⋅) .

      Очевидно, что набор ( t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅), x 0 (⋅) ) является допустимым, и при этом

            s →∞                                                s →∞
                                                                         (                           )          (              )
      I ∗ = lim I ⎡⎣t0s , T s , x0s , U s (⋅), x s ( ⋅) ⎤⎦ = lim Φ t0s , T s , x0s , x s (T s )) = Φ t00 , T 0 , x00 , x 0 (T 0 ) =

                                                              = I ( t00 , T 0 , x00 ,U 0 (⋅) ) .

Теорема доказана.

                                                                                 44

Страницы