Линейные задачи оптимизации. Ч.2. Оптимальное управление линейными динамическими объектами. Лутманов С.В. - 45 стр.

                    1. ЛИНЕЙНЫЕ УПРАВЛЯЕМЫЕ ДИНАМИЧЕСКИЕ ОБЪЕКТЫ

      1.9. Область достижимости линейного управляемого динамического
объекта. Важной характеристикой управляемого объекта является его область
достижимости. Пусть t0 ∈ θ 0 , x0 ∈ S0 ( t0 ) , T ∈ θ1 . Символом Π [t0 , T ] обозначим мно-

жество всех допустимых программных стратегий вида U : [t0 , T ] → P .

      Определение 11. Множество
                                      {                                                    }
                    G ( t0 , x0 , T ) = q = x (T , t0 , x0 ,U ( ⋅) ) U ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ] ⊂ R n

называется областью достижимости управляемого динамического объекта в
момент времени T для начального положения {t 0 , x 0 }.
      Теорема 6. Пусть множество P ⊂ R r выпукло и компактно. Тогда область
достижимости является выпуклым компактным множеством в пространст-
ве R n .
      Доказательство. Из определения области достижимости для всякого
q ∈ G ( t0 , x0 , T ) следует существование программной стратегии U ( ⋅) ∈ Π [t0 , T ]

такой, что
                                                 T                                T
                         q = X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ] B (τ ) U (τ )dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ )dτ ,          (1)
                                                 t0                               t0


где X [s, t ], s, t ∈ [t0 , T ] – фундаментальная матрица Коши, отвечающая однород-
ному дифференциальному уравнению x = A(t )x, t ∈ [t 0 , T ] . Оценим по норме вектор
q . Имеем
                                       T                                          T
              q ≤ X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ] B (τ ) U (τ ) dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ ) dτ .
                                       t0                                         t0


      В силу ограниченности множества P ⊂ R n из последнего неравенства вы-
текает ограниченность области достижимости. Пусть q~ – предельная точ-

ка области достижимости и {q( s ) } → q, q ( s ) ∈ G ( t0 , x0 , T ) . Из равенства (1) следу-

ет, что для всех s = 1,2,          будет справедливо
                                            T                                         T
                   q ( ) = X [T , t0 ] x0 + ∫ X [T ,τ ] B (τ ) U (        (τ )dτ + ∫ X [T ,τ ] C (τ )dτ ,
                                                                     s)
                     s
                                                                                                            (2)
                                            t0                                     t0




                                                        45